← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-457162337670846928996567971224a^{2} - 541277511444569788888974218608a + 294231607816948889042851017184 )x^{47} + (-304644565258201119586983703480a^{2} - 377449578258466758322241294076a - 55774123332346654870118790520 )x^{46} + (-106673892294508799599432454648a^{2} + 195771149087146931103019176088a - 138079510372599529230556651504 )x^{45} + (-416876199118510726412299205696a^{2} + 136902074722415575197559102744a - 427395584562160890593141450584 )x^{44} + (140716682358769693199397304176a^{2} - 167806529781880091409737681728a + 405742785191816634529902715440 )x^{43} + (589420475576241207299384843244a^{2} + 572906709593492458398161623764a - 457886286389016489438008948340 )x^{42} + (439204358109643800475931890984a^{2} - 132261553390453481842712780184a - 510848459964909045721343318200 )x^{41} + (123190033319586738716602197036a^{2} + 509041029926537721380284505188a + 427953033874772277243957790804 )x^{40} + (160335651571954717746724922320a^{2} - 411630685770033257838920032768a - 306194397075543096051573362976 )x^{39} + (215213170088693479520055168432a^{2} - 434926014552014888668218687272a + 153889262179240940749817683304 )x^{38} + (-447146817275791397246803833880a^{2} + 166881287971635901258754816072a - 295462107808998465554097990632 )x^{37} + (-434351296645920219354968614392a^{2} + 76133856338834547378954316916a + 555867229747927763939203997808 )x^{36} + (325912409292713110534704614848a^{2} + 175327178134523479546658133520a - 585400381380512348335910248512 )x^{35} + (-418237219794525559697626408880a^{2} + 287841425276420888958145513448a - 88117061933470174806706379468 )x^{34} + (-38946031861311040074537352128a^{2} - 142093971216245973356617266696a + 67719501194639789402548550360 )x^{33} + (-85868118601670738871084618952a^{2} + 320537585269833629391887388706a + 517191223446355611864133292160 )x^{32} + (-330498914991076820929730717104a^{2} - 405470374492501315506726353344a - 253887829974043495859001179728 )x^{31} + (-36396151670879126922678402664a^{2} - 201993611829390200181230600680a - 36889360497923888037275041424 )x^{30} + (111639130023596516188707650528a^{2} + 260443667271560971370313413816a + 17713342035606044873374497144 )x^{29} + (-267649129329031106234846512076a^{2} - 174910559540002111899744784108a + 263972322050197902220305179960 )x^{28} + (-272429576147989545277583704176a^{2} + 41983424981932014261670289952a - 567964387590154750283275482512 )x^{27} + (-44249125346658978718586908592a^{2} + 595841500682242273427894985968a + 513883703467491403835820038656 )x^{26} + (-392718984141176584409068926784a^{2} + 125734071439778455428843308608a + 399189836933664684577545262736 )x^{25} + (378279404369395806766421088828a^{2} - 290137790084702314897318325084a - 436956620182255745362880225660 )x^{24} + (-387046103212701611019718336544a^{2} - 268364905899954624137879342720a - 581592071233879693548412487216 )x^{23} + (425893234598948934158954202560a^{2} + 533006826100218945984162447160a - 463721219529304393939018722208 )x^{22} + (268380017389824453463603593312a^{2} - 535212806636701197558954481328a + 555508972039832600993815203056 )x^{21} + (268987124696077593211912835968a^{2} + 531254641454843525272338085040a - 554444693432504063360892759632 )x^{20} + (-105165393830246974866674919488a^{2} - 278018454771125161604777549504a - 308294517098371311225239905856 )x^{19} + (345986250748989446384943001016a^{2} - 623127131844716659305613380848a - 195314643284218520602002476968 )x^{18} + (502783688742968588394712602480a^{2} - 269069023196225222085937477840a + 40325134464321955018556425920 )x^{17} + (505574544930744157894767499668a^{2} - 624832649169158570237015821672a - 282239929955480897554683544928 )x^{16} + (493054012729316450898143250368a^{2} + 475158576372060037597778035552a - 349134156369578918524258330624 )x^{15} + (575647160494207561544649234776a^{2} + 75198759351010505558895995672a + 559589440658758038361385068768 )x^{14} + (-9709866935336485044908629328a^{2} + 206498494515264190157402360880a - 83533478397521937267772857760 )x^{13} + (-69797714758497417313503634280a^{2} + 354864995361930048586443830304a + 326852658735842978382074697736 )x^{12} + (-17688897601704917455505260768a^{2} - 378849713183555662715756300768a - 344718789422069749618439912640 )x^{11} + (110606788304357294582057893328a^{2} + 218583580920303143635437923136a + 58859955310813340461260695480 )x^{10} + (182637684130647494942261748512a^{2} + 195161242654287828871527114096a + 436153704385864926760029308880 )x^{9} + (383435460486119325739097108640a^{2} - 531353001102573907048140170180a - 469037546680188155118796356888 )x^{8} + (520905121466259109974643444096a^{2} + 500768149659527079483416860992a + 77464012026576538927580299360 )x^{7} + (579347577569396198795182251072a^{2} - 354784597881993927103688000944a + 446159406310958168441256663072 )x^{6} + (2651953347142179831288464528a^{2} + 125903316021738856065799722800a + 203722470475699123934336784016 )x^{5} + (409223602318992760362209971896a^{2} - 520539869464869840355383032168a + 503718833472702840233721233312 )x^{4} + (358313334466010649433629806368a^{2} + 224449144442081394280880262016a - 180482087796543452847848760160 )x^{3} + (-196175068949190002744081690912a^{2} - 365757365584303225266405761344a - 457258463842780333700385726080 )x^{2} + (-538250348169221281869994266112a^{2} + 224522353288256370008996763488a + 560725883717878395783327151616 )x + 228406041980031265584520312936a^{2} + 419794637117755062554114701032a + 608521642533849270861907287252 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary