← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-457162337670846928996567971224a^{2} - 541277511444569788888974218608a + 294231607816948889042851017184 )x^{47} + (286387190310637697559352870392a^{2} - 568018745349756358018652117804a - 193304892079325828142409071408 )x^{46} + (52719725482652673239996052728a^{2} - 10023122431154855981819489352a - 380471148045865163254433739024 )x^{45} + (-381391182636923456876599839968a^{2} + 82227222451062236605102679616a - 154997588808285161092522223080 )x^{44} + (-175722325331339860797371557584a^{2} + 105492326083055129906885485744a - 255949294216861701586693546976 )x^{43} + (-135442605150978858721709034492a^{2} + 431978998202263606287172261156a - 78012669630333029367337177380 )x^{42} + (-59730820245875177323381061120a^{2} + 129899357241741310846221213472a - 45654168163580275151914571040 )x^{41} + (-357318297713985597524784891736a^{2} - 477446085081733728875945797824a + 83273744154101521395767331392 )x^{40} + (479799813651083152570661237648a^{2} + 531554150020804425094700301568a + 48127200053541742289461129824 )x^{39} + (475791322850097845848538488016a^{2} + 566005646299568888142532907280a - 110520743904927000385821298520 )x^{38} + (410989443843077652035820909864a^{2} - 565390019543673020597640717720a + 608350509015569101691853820104 )x^{37} + (-227835795982468813801632117800a^{2} + 527412572784989713090700529948a - 60065952757030733214325325872 )x^{36} + (-111928161002616404182957238112a^{2} + 418680059019592364535292644928a - 271634041505765886075376675200 )x^{35} + (-484441301621154429593730728520a^{2} - 405563764550183064036920722968a - 433387417706970547157533937028 )x^{34} + (-98315745574630398303603102288a^{2} - 492265884383491596874417155544a - 165444520760007657250651180088 )x^{33} + (-340646624078853926799236249548a^{2} + 369342333415317618620526350310a - 311022152777913461618725998516 )x^{32} + (-198668852197179778396293178672a^{2} + 510106675465636826222333882240a - 572968728443697588675182045808 )x^{31} + (-397960826569774160332646687896a^{2} + 247871306141034064350362455080a - 404745552969662267462054818976 )x^{30} + (590001776699245179258018587680a^{2} + 323952269115530397864591056024a + 142041490679361337416063911192 )x^{29} + (-313196165533058036872728450204a^{2} - 76864878982853098230101555380a - 367634919275142959745021331232 )x^{28} + (14192720386543448545346510064a^{2} - 67695926927913559631989956768a - 264136119428454145883757404272 )x^{27} + (-129417169188672628142733730024a^{2} + 534807250428938118508034754672a - 486350823603595454978939789976 )x^{26} + (-341435225154970394105999804848a^{2} + 342837481543034235885362164576a + 348940462855697603516802243296 )x^{25} + (-86990373362011936502884514140a^{2} - 36940486441546561843800660476a - 484868177202033757731603624036 )x^{24} + (-593762243499096289973869678016a^{2} - 503919567049480423054250191680a + 212767702676955943922972156336 )x^{23} + (-272985680215818440789951806816a^{2} - 180234902048562750505617472696a - 155284546487332086255780651072 )x^{22} + (-39617387542011683654658277984a^{2} + 504340067668577985152289490064a - 524724005884330065265943177968 )x^{21} + (-44654208726007138723431761192a^{2} + 118701840453141757909364667584a - 594094273000734244749845032448 )x^{20} + (384423561579909376154315048544a^{2} + 22944557421075429303567561696a - 496586931934209189061037600736 )x^{19} + (208026717357428631243865671144a^{2} + 302510164830710096555960190880a - 328352968214956001867983186952 )x^{18} + (-474867996050065771833354409648a^{2} + 461680197456054260138997427760a + 33979828073918252742306687120 )x^{17} + (-583880146868681375583880877860a^{2} + 252479644134892044427593417216a + 544433068317694276086054047640 )x^{16} + (504456342270125607850624148800a^{2} + 282748081902526463534857720160a + 615580344828055707034378269952 )x^{15} + (-367153079976365980378705761736a^{2} - 403943478169084848866490040360a - 475322155394775439191851811136 )x^{14} + (-390118272140895835407538142064a^{2} + 216696237938316399052019105616a + 427586950807796987754777009216 )x^{13} + (-615057904820325647393395637256a^{2} - 240878278484489084830497512224a - 345457273492486344866440836952 )x^{12} + (-100622169268931584707969279840a^{2} - 427196926211312844309088383168a - 374372019685241819839117949728 )x^{11} + (-604014676051423161251859325488a^{2} - 21426953194449674333247325392a + 538141812542039938557420232968 )x^{10} + (604970532725301308714978384768a^{2} + 366061152252569710925034899632a - 331603976418462907887741211760 )x^{9} + (326456115010441657803604041696a^{2} + 34336352976051857197722033916a + 49236166260604961084461675288 )x^{8} + (239197395131273468420665243136a^{2} - 599805666410856054461748090752a + 22070692869090869215870161632 )x^{7} + (549691911913027813431466035552a^{2} + 423707180239163339399601674480a - 22469043547732419609786899872 )x^{6} + (-104520777543630385697919105392a^{2} - 614620644037840641471246247568a - 155676671563757860251625565584 )x^{5} + (-468818262287803952591495678408a^{2} + 415568558231839236981390345976a - 131097172897314116975916807984 )x^{4} + (-44316904475798124156621999776a^{2} + 13193028392285057323051106304a + 70772119360734762819679262624 )x^{3} + (358946601622877360255300212192a^{2} + 41100728293420367760044194816a + 407792020910013786635165166560 )x^{2} + (-50481908991477008010300070400a^{2} + 300219362809723867580090241056a - 538546418313788674776499929184 )x + 384852181977677240338694095240a^{2} - 589741161076632931115729874744a + 581756547248733239863918808948 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary