← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (159216009776641380235437201040a^{2} - 258206859471998262047664750056a + 369933038658463477886259452544 )x^{47} + (-345248487797450010957119529728a^{2} + 221110071863280196600725213064a + 79686100290053271716204876804 )x^{46} + (536971007827383777340130102424a^{2} + 449706504213608498714764503096a - 333413781006569047132367192736 )x^{45} + (-102803308675824145801391868804a^{2} + 51357894922151450150429938280a + 445352274005743526707439466836 )x^{44} + (117632313306327313181745123640a^{2} + 583776604113534245070216222264a + 218457680719739810272034297208 )x^{43} + (541969948845195443487951735824a^{2} - 407968493599870318658994847940a - 262592303515983107593826111536 )x^{42} + (-117488798647132758291467600080a^{2} - 126548642982731347417617398672a + 476413447828769993672137943640 )x^{41} + (62526324793865582634752121768a^{2} + 382311074547828745747999796232a + 246808947123223125804304128272 )x^{40} + (-262335194427627808103731451504a^{2} + 317697471430237065004398955424a - 89841699094884686865718692000 )x^{39} + (-357749074253023763761977625664a^{2} + 96719492482018481621585776908a + 331267340637446558344523153932 )x^{38} + (-559194504208964940613079812160a^{2} - 66641463545996950491440690912a + 572910795823936092678488822840 )x^{37} + (34609321987734861988148221196a^{2} - 383288893256187100860879725332a + 123398037412128264809780612584 )x^{36} + (184647520168363825802657831888a^{2} + 594093520054650645204111501008a - 80278890582168390335707547280 )x^{35} + (-301556798442330315208590932648a^{2} - 181375869922407711568529912192a + 174495921943195709550712061492 )x^{34} + (-218978563378093652578700561984a^{2} - 449931850859364249860848181032a - 216709920496223030998034544648 )x^{33} + (286332366041854138077590456602a^{2} + 457368918078018826110366407942a + 90098977145987985726038090626 )x^{32} + (-203332074044464304038408447568a^{2} - 55828372074581260531377976560a - 561153721426232689695218537296 )x^{31} + (398988181718397035478914957344a^{2} + 477319493138899879349285977664a - 150334798633475985841629593144 )x^{30} + (-555515109581776464548328461080a^{2} - 178368343458680071873707532376a - 531498594181376837828364013096 )x^{29} + (563966715474490266702079056396a^{2} - 325857783375040258382668770880a + 555725031703000700025795804456 )x^{28} + (513757573436569775928191409200a^{2} + 258519795085666389455490642128a - 92594016315206294061423392288 )x^{27} + (-229324671453883257598331211112a^{2} - 238890896812150703391674642984a - 67477122878401206617874588328 )x^{26} + (-511106425547323225127218571288a^{2} + 418376649645852862965770590288a + 524938460732318833533582530240 )x^{25} + (627225609346398558356415648608a^{2} - 503287972816627942693330371320a + 223838664032475410403526224208 )x^{24} + (-514774651412045927293943509056a^{2} + 360534604315644115181179882752a - 130385238719475917381889548192 )x^{23} + (-78833218480857384699416202280a^{2} + 204290630930560528710841034544a + 130790099710249477487120272328 )x^{22} + (-430635111614004268674531554912a^{2} + 490648218757685875338952929456a - 427962718180854404543861640416 )x^{21} + (-130150831019531356781198355568a^{2} - 189201257090412775012957841128a - 174087023256756952784008286944 )x^{20} + (-213864269109695944725785084464a^{2} - 406782560018517899763860233424a - 411887273119418735819308890400 )x^{19} + (73231554277827087219635236024a^{2} + 473482754295546897047195212232a - 77800858274420446071973733520 )x^{18} + (408668173108604935996170921472a^{2} + 60257410661624986905619130800a + 98987168163472656880475764256 )x^{17} + (-306046894992752679683471750680a^{2} + 368936482541070103728004819988a - 517189184812413784538569372748 )x^{16} + (-512055086127507140529659346976a^{2} - 622140055535947204822444389760a - 571665451102483137819860703616 )x^{15} + (-321650349166054631661006831392a^{2} + 394234759797640403497651483616a - 22344524120126788344739686080 )x^{14} + (30713211610132530161796323632a^{2} + 414859481453701812962981593120a + 352926714694697727452148524400 )x^{13} + (569955169832268077707093692928a^{2} + 91546247729275457373789495800a - 577481221147700287187793696112 )x^{12} + (142794184793541213843060449344a^{2} - 569060600550840225878517358688a - 490758149970464040435161452800 )x^{11} + (322018695354017364883307360904a^{2} - 579490698422110329924419315680a + 264146265347546650782202900520 )x^{10} + (-209887480508402618679871983472a^{2} - 324020607974948991379275698240a + 626400643230250260212114813424 )x^{9} + (553414445025669396391532200780a^{2} + 117513479801904580418018062404a - 171606379593576571262057059752 )x^{8} + (306590887598462199045201873440a^{2} + 64114102164097299436715957472a + 154341329511857935804403375808 )x^{7} + (515337045543354988931996120320a^{2} + 106520374821272421439055440384a - 412204152941202256057956010592 )x^{6} + (115491776736142584180848841248a^{2} + 89210701588544798886218240352a - 293303023637860657134676152544 )x^{5} + (115473824660465565961260282832a^{2} + 20982220246836703269152544648a + 242307540032515647562714813104 )x^{4} + (-248756563933580972116464473184a^{2} - 567280259970181870987229164448a - 585506405008095480187123293280 )x^{3} + (39918054418351158935898501408a^{2} + 176542328253124937801888683152a + 155039438611633019128420504032 )x^{2} + (-601800859408470013539942793696a^{2} - 90934634256887337846751874704a - 159878097457981583882648366880 )x - 217282587708454833187107030820a^{2} - 77153267649694990174585399676a - 469994926003170368289370220020 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary