← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (159216009776641380235437201040a^{2} - 258206859471998262047664750056a + 369933038658463477886259452544 )x^{47} + (-266688211143016435539956628424a^{2} - 226393906956738022958471700224a + 52035726352400788231724386596 )x^{46} + (-158782015042405666697441952424a^{2} - 309954968539435148878499842472a + 134300281572293679819215799392 )x^{45} + (-469925596889127569465934174084a^{2} + 211837034771426887317377430008a + 253567877021195155574317098908 )x^{44} + (-581479932103702359123148409208a^{2} - 134470425080144010438390229224a - 316430841141689055459438863192 )x^{43} + (320490292796962084135703105912a^{2} + 612619553291774803314323610468a + 546481201887196446263719091256 )x^{42} + (-499847411547113592419821158472a^{2} + 528139778808621772784505952040a - 350129786992378325518990490584 )x^{41} + (26203808285304841227387542752a^{2} - 154359806862373001375305473232a + 24799108479160269340816025948 )x^{40} + (-307537671265510587058475138768a^{2} + 164954343943901626925936819552a - 424285757680998402454264983424 )x^{39} + (-311794603232424884271777699168a^{2} + 291493562164574093863991525484a - 75685727778349275478201018292 )x^{38} + (-594360511768538345578959823488a^{2} + 376728414718672017926661992496a - 304359532359045248666353070168 )x^{37} + (-319260091601513840978230253684a^{2} + 2086840270236791598984838244a + 200006173564347996479793388456 )x^{36} + (374314119055448795805460107600a^{2} - 533277560686671987004428577936a - 387967930607002222479691755248 )x^{35} + (385930076778494176725130128904a^{2} + 47191324185413532505967781024a - 77012608417894299537536432276 )x^{34} + (-223108892111428143923321977344a^{2} - 417095649152425236336494913352a - 521566594686718182765268741736 )x^{33} + (-391347385642416627616066391274a^{2} + 228870791130315553606780449830a - 517445114093482632323814360222 )x^{32} + (-781288768622850657073627408a^{2} + 46465864929896631904657938928a + 568962095746583947902648807792 )x^{31} + (-246895307807152268757180300096a^{2} - 489399176081623010331401224528a - 578151509763907164795317180872 )x^{30} + (534213442900709847680520556840a^{2} - 597076239872746155769364187864a + 585364462147352157224959020728 )x^{29} + (411035887255119982368496401580a^{2} + 401905870437418361933303115936a + 372128371679776723734083558024 )x^{28} + (47399707755716863373933737200a^{2} + 571660909894061612851499173936a + 445007646951053641161311758816 )x^{27} + (-533586077129745475585888464632a^{2} - 233558721922871925730473157960a + 143502551590090924346428340216 )x^{26} + (485600187361503423750019928488a^{2} + 437680185463971021631597523712a + 360030660542760276817467314736 )x^{25} + (-308142911735420075853483109488a^{2} + 1311958009835899957695443680a - 602039973312710444673664464664 )x^{24} + (354240121565549742261180346208a^{2} + 69905013076171678150321657376a - 38567172781744684347057975072 )x^{23} + (252886240303189616791631643592a^{2} - 282468047699453762112810608480a + 43392562506669186218860850264 )x^{22} + (28561924578477736613585161216a^{2} - 579729057701900295641245332144a + 325759025508489978758390363072 )x^{21} + (-311131730639479882499827824120a^{2} - 118258432218008879389409816520a + 267506450524521206555465934224 )x^{20} + (487435225182644255470687482480a^{2} + 264207129366868467565132457584a + 571912915955469781438632127360 )x^{19} + (-495589392657104834821738565976a^{2} - 630509276359596887093014661032a + 330799555793262698268390945184 )x^{18} + (-229152614100934421589114470368a^{2} + 184231491607920475196774634320a - 613096052375614705237976320288 )x^{17} + (290365208314781453385727357328a^{2} + 589643574294624515660772239572a + 44720506162622852378118127756 )x^{16} + (29599936263176629911608002720a^{2} - 444431715348970981519823209344a + 8829970764219162873143454016 )x^{15} + (317049729938537219234192843264a^{2} + 31178638833902571679394680448a + 570499006751417348717932873152 )x^{14} + (236240541957114754105748157584a^{2} + 346051335813749441571537919872a + 93467942480341937113085369136 )x^{13} + (401792269879026513966912924432a^{2} + 142120203374755539466423771224a - 163117556730450677487752085408 )x^{12} + (161829218862837332840060110560a^{2} - 519845013372312334235938216000a - 616624746032146999659263534016 )x^{11} + (-221849367442003306519913802568a^{2} - 94851487311126399999344899728a - 506474041419911001241662359288 )x^{10} + (-422981743413259132986187326864a^{2} - 312636424572672495261256594688a - 495366052813984693332202021104 )x^{9} + (-107989025881758583216780409540a^{2} + 274477120936968197289979921156a - 315548894442679743261793604328 )x^{8} + (339004630825144642604559964768a^{2} + 488061347423718916212473208288a + 190977642055000820545170833728 )x^{7} + (-116423388086158844167543080928a^{2} + 119718308686119226490034547328a - 33786299689177657991914874624 )x^{6} + (440759908506139932791580750752a^{2} - 241871096843053358600851038784a + 459529155063958297458328120736 )x^{5} + (138506319119580839224572476768a^{2} - 570693284055161824047203392648a - 174610716389713048605210672992 )x^{4} + (-118702532485845962843773241184a^{2} - 578692960707140090924866843296a - 495330968707422306019210580064 )x^{3} + (-381876418282298059853277600800a^{2} + 298179634925366636326463102576a + 418601276428889717191860948496 )x^{2} + (5779029374142500930621700960a^{2} + 171725917709130258640464637648a + 117076058380409158891000156864 )x + 148554669229010364505463325180a^{2} + 336491411231330135195761357396a + 504836778151126019298344211612 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary