← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (159216009776641380235437201040a^{2} - 258206859471998262047664750056a + 369933038658463477886259452544 )x^{47} + (-580310797230299321016484363328a^{2} + 299795487870287185090416261936a + 15138412134129059136397212244 )x^{46} + (462602464334598442207761524664a^{2} + 297465420867793910787879676120a - 226674463766466249887333650368 )x^{45} + (45810105928002569560875781660a^{2} + 347961912785134958779453852976a + 205864750003147978703587525204 )x^{44} + (-12284963644910293869170527320a^{2} + 344957174558329363909545469096a + 35155865974455424343608862392 )x^{43} + (244923510155675659176504220976a^{2} - 383825973385027438537499322812a + 561101297650645825554365386792 )x^{42} + (620844358438444532914453615448a^{2} + 68401702576218812020863882392a - 1601627155541989653252060384 )x^{41} + (271091939643331025974740325268a^{2} - 526261564027837671539784758864a + 32183659773278090008103900436 )x^{40} + (-341676769685987563457632272720a^{2} + 520832030471965402809216922624a + 28446892686731518121316154112 )x^{39} + (-608789838105274044411818520032a^{2} + 226637901339300036858600438396a + 119984870417355019036566260620 )x^{38} + (-354102264312270043464138701856a^{2} + 591999468068240907376443248544a + 200089172278449152407381904904 )x^{37} + (-540121931258422077721381991364a^{2} - 506847615976631346176054073244a - 75514173103652768735422339568 )x^{36} + (562299188994965648107142864784a^{2} - 562079726126289086939111023664a - 506406070449269290997998954512 )x^{35} + (583612906658950084196465203464a^{2} - 623757759137699613446733453456a + 80127202547927786427050994916 )x^{34} + (605339375634763113017795184032a^{2} - 491572387960555034836676993112a - 217224409314983620085727799768 )x^{33} + (483120367212541561216087799550a^{2} + 270589639519672047067302093178a + 404549965751966581272610968906 )x^{32} + (54757885001475504864129586128a^{2} - 465970915906600116063080848752a - 372800155931180385668227708656 )x^{31} + (125339467200566406525382043376a^{2} + 433937032830579847408121888720a - 315380671337347201219624716328 )x^{30} + (-141263255856409814943967573368a^{2} + 52362236570943026745927047048a + 123659444247599339601428425080 )x^{29} + (-238730660522766005135443801900a^{2} + 19997048452858782151261413864a + 38771783081847174830883359736 )x^{28} + (630116936725970128390320378608a^{2} - 224833767996515813135321709584a + 19652117104371321017372612864 )x^{27} + (31481922774559097831272340088a^{2} - 526850827754678514097499461960a + 591488632471537757704246399480 )x^{26} + (159983791682675542245231210584a^{2} - 55905624894339176697261273376a - 80319849827601889766791265280 )x^{25} + (-4823082960438888562991936896a^{2} + 256196615467903210334312665200a + 531078124923362511830167972616 )x^{24} + (553756132936035551782550643936a^{2} - 273475188160955078461648034688a - 538266534964602659840602556032 )x^{23} + (-414641237676878517725711666344a^{2} - 614884981393132964650439126848a - 102185489402449864927620329928 )x^{22} + (287651824426433219182115345920a^{2} - 412510310676716635386488293040a - 262111625921076600460370869408 )x^{21} + (-209314952008724546741333526224a^{2} - 218002536411127364778108597536a - 210640109135082282453829601728 )x^{20} + (163419058094541942638340003856a^{2} + 471436748902186060938301234032a - 409790059734417082734614124384 )x^{19} + (-603792453435772405174999882488a^{2} + 421700745946738127089928844520a - 587912991607290701919467805264 )x^{18} + (-72486976751498542059441516064a^{2} - 2569669183393421052035082448a - 206468808040610605554690745344 )x^{17} + (441160564605042206133295011776a^{2} - 548060491786823875159412541412a - 282559218898774459970685136772 )x^{16} + (98727825328358604987240852384a^{2} - 78070290065103262545047817088a + 570048819486313532231856949824 )x^{15} + (127074951490774667402570239360a^{2} + 361371444571841344286379785696a + 146463269328139216502122525472 )x^{14} + (319989351570427460763765911856a^{2} - 625272061205972567212304927904a + 77429885988551974819592748336 )x^{13} + (-393980006936320443705690484560a^{2} - 50695370496050369601049326408a - 544661015195208094604339648864 )x^{12} + (577956431673553989424724180416a^{2} + 462825285861515760709465207488a + 163902821123755635741429215456 )x^{11} + (-263933194726237489097807346664a^{2} + 161622732145416366017717128880a + 568056778557651722501051707000 )x^{10} + (316640732457464319683531275440a^{2} - 459635371040337113605474703168a + 520025580642266075550071986544 )x^{9} + (589621262895244872982034276620a^{2} - 1087680031007771734611471708a + 50336809895959247666055293784 )x^{8} + (620514821794840674971522620128a^{2} - 312941715889170805084548347296a - 488958958799262875917032714944 )x^{7} + (-574267367064256201333104299232a^{2} + 1595017872800048197538396384a + 509217940248189068572676434432 )x^{6} + (-479676308957528519805633802016a^{2} + 525590125693510936707995333248a + 30627979553275298131681708928 )x^{5} + (-613316333202575144170783759824a^{2} + 387557800377600787375328540472a - 28626089325287289580113025584 )x^{4} + (-372795638637173670517098833824a^{2} + 595542950052126234538977476640a - 155207676494796173648002004192 )x^{3} + (403831262115459379261889063744a^{2} - 582183245143735552031634061184a + 327289305146696851548452212384 )x^{2} + (548578684881150896671202133536a^{2} + 439467229358951426980655361616a - 243555959320597357501745313824 )x - 458602318814605466756629144036a^{2} - 500333063048776632034659286252a - 206720210967253705684330768692 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary