← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.287450_777610_1032016.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((21645725759428343001758782288a^{2} + 53720726934540165553006236920a + 219050767147326427431029489909)\mu_3 + (64636728301556684226526168894a^{2} - 29361846676726990213909461132a - 35723240143146315899791430012))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (159216009776641380235437201040a^{2} - 258206859471998262047664750056a + 369933038658463477886259452544 )x^{47} + (-208219745575672445410957346008a^{2} + 621067700553002583170138983512a + 277001623870196783196751178660 )x^{46} + (217783517173910371459201262264a^{2} + 361354808687541808567560535672a + 459307939796489469010489391680 )x^{45} + (486924257048564058999658283148a^{2} - 243909952971566028604944512880a - 90671876238123030214862242436 )x^{44} + (352060703526098103769814385176a^{2} - 377676228001275879964790514168a - 513610758375232964417979618392 )x^{43} + (-462660966576372192401520451848a^{2} + 537450769630589434178333874396a - 547256569804357701770742773328 )x^{42} + (-60825292906317751368354819808a^{2} - 432804077419650129717015888768a - 557177216447202733930556390192 )x^{41} + (375211133267135177778819304404a^{2} - 585582204484451128742358170120a - 261957138623965811006448108184 )x^{40} + (-381970632430781135175150718128a^{2} + 86285825928295541515015155712a + 34730835908191721204189641248 )x^{39} + (-558303024332499068362831796352a^{2} + 60371118778978976951617410908a + 294682975687602415568731968940 )x^{38} + (-476450765452156792570114889120a^{2} - 204688816541252619511517652464a - 44587823898090826982043436264 )x^{37} + (-181497167667212768654134072900a^{2} - 323158700108380878287346416804a - 201574179805499077526135994864 )x^{36} + (594658695586060621575577054896a^{2} - 300353588605662716752018767120a - 155456615539706141582958783344 )x^{35} + (109340731301009978480384589752a^{2} + 493225277517722690948923043344a - 98230272089315862094580239940 )x^{34} + (-503450922992950568722786413088a^{2} + 610483449309132864858689248424a + 229658628937785553346882049928 )x^{33} + (-408675766665832309023012532494a^{2} + 285516458028309846390839005618a + 616773645948151425959735116602 )x^{32} + (443688007349757089372000637712a^{2} + 185701039947752512858322918640a + 183713545168415448607534376592 )x^{31} + (368975848753124001316175574992a^{2} + 346345923800342490523340172352a + 35552938414706714520867679688 )x^{30} + (295179453426440128944053152008a^{2} + 331381783828884464399451695432a - 391981677117479490717036186728 )x^{29} + (403644489086400977138393586564a^{2} + 487858048395269644944724023608a + 516104986109651528403351958872 )x^{28} + (-346180429950911599058703509776a^{2} + 217144145407648941681334135120a - 501068329869119648737638899264 )x^{27} + (-608281154346984368164856750232a^{2} + 262131781178255466040522911064a + 92751125344560749703506590648 )x^{26} + (458040505650125821142082588216a^{2} + 45567006344310243190500068912a - 537478746027252045719924890224 )x^{25} + (-533373005139276553128739912576a^{2} + 526989370005887878617374254616a - 33855521941758790857428492032 )x^{24} + (69368424409102651535883236800a^{2} - 203932155457242419451177679712a + 116820677750469449654649367360 )x^{23} + (49660208172636600610396141960a^{2} + 260751382698116433582124364880a + 231809411706735598312123199304 )x^{22} + (-381132549347140605964609569632a^{2} - 126842657005763724838851958800a + 418972871118414904533176162752 )x^{21} + (450415634064345635105943241176a^{2} + 398700383600317963197793163232a + 272120182398380827236781157616 )x^{20} + (-79259112705337364688323503888a^{2} + 631247912860205750785655872368a + 387999329515505051364627857728 )x^{19} + (-58718916848198578148492605416a^{2} - 142302683032147157316396797128a - 237730849752860261696432561920 )x^{18} + (110103133537941975211718517024a^{2} + 66133473408882872538541173232a + 240207272245108831594950965504 )x^{17} + (425672004507395777021130319128a^{2} - 82394924051528912644267487716a - 37401851983695425026467852876 )x^{16} + (-415220980412257241377019045664a^{2} + 210033090936242059458134549760a - 201626644670426162547323168640 )x^{15} + (536120554463839080141854593312a^{2} + 358137150279650234607967607424a - 406446399378532021605064783264 )x^{14} + (375222112710995800794766796496a^{2} - 234536251350537775559018741632a + 32720806305908776461559892528 )x^{13} + (384702943305072825449364094816a^{2} + 387547119646787916720060751608a - 527872390690062846278543097712 )x^{12} + (-195957107951839244578762822496a^{2} - 239250681535044191160538888032a + 36726997696716190330873587616 )x^{11} + (-406772425210898970686600975672a^{2} + 391807433156598261768065479296a - 422367376319557283964672235144 )x^{10} + (632843446064988434628989885968a^{2} + 540902355739567754123940588416a + 518234622099327209085617423824 )x^{9} + (-137440200584041373944240886532a^{2} + 215160821520640304324226244676a + 301858274768267676811562601112 )x^{8} + (-607062837946266177937452497504a^{2} - 521539957720188062520228302240a + 389339064481400155123505060416 )x^{7} + (485630349912032043844959170304a^{2} - 275043591096824911456265722144a + 605955342032279127171179982944 )x^{6} + (222864704773335913178526475040a^{2} + 286709695163619768820360216928a + 327172546636297523155717407232 )x^{5} + (-201673603899246431374240756864a^{2} + 156320210263151678320574304136a + 137449356405367881726830522784 )x^{4} + (-615034777277205078609447174560a^{2} - 481165883144325156745846921440a - 420666490130298118536324157280 )x^{3} + (449400844678531503996060068832a^{2} + 20798363267867908295472642176a - 130792905464320408182114990256 )x^{2} + (417293315654601418574040206176a^{2} + 187429472082823467811371259440a - 254690495597943336861971288256 )x + 338506782341448848962297473596a^{2} + 444786598215270865292445041412a + 103921021435572107215883267452 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary