← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-506635992659420968920691826432a^{2} + 406267158227715519905195582672a + 578313177025648215551630826960 )x^{47} + (487247345712819800693313831884a^{2} + 458519281981636842283116199936a + 473068365682632407752651830928 )x^{46} + (-345540024404798749912509191264a^{2} - 412225261857389917723378755488a + 372586201341667695436107648664 )x^{45} + (169117754928345418248023874036a^{2} + 291903844611266377150204480880a - 373955014325679430565203544368 )x^{44} + (373728318710391121364006811072a^{2} + 607557501012344398750150240496a - 216819147070716508032323124816 )x^{43} + (187955734789672123001499197612a^{2} - 339586612580624855582142696736a + 309622960946286430933285483472 )x^{42} + (-343053050826979716397070818320a^{2} - 67854351049042933541148899552a + 45257338369014152048719222832 )x^{41} + (-149797113655414102979835367056a^{2} + 71650582614354780777969908476a + 76770039824034806379367771864 )x^{40} + (592582414831565635690629773792a^{2} + 63806267132491889540368288368a + 459743943988569705287402109936 )x^{39} + (-260926418411819490827236663720a^{2} - 369638550284137222469306759640a - 605773248284666535359339347704 )x^{38} + (23760870690096306873941859920a^{2} + 385287550858937476225272709216a + 622826991114355600934818713632 )x^{37} + (310066357693054371381728235448a^{2} - 304018361196733963636765016172a + 315997410863820721543543312848 )x^{36} + (-411476129961461023496408026256a^{2} - 443689730573257376869567835744a - 360593878843736735339148264096 )x^{35} + (-252598502960892233644445772272a^{2} - 374385298752090501051497653236a - 337582061590650774913487286708 )x^{34} + (25294563679571711751506645904a^{2} + 566874908616610168376149540416a + 421463942246652907571175883936 )x^{33} + (-58549850455503863639078677426a^{2} + 398095347328811341486669068658a - 602569166948042857260032609692 )x^{32} + (632969423266239011486217001648a^{2} + 113779242863238139732576146944a + 252225530794886274173710567024 )x^{31} + (-33534571889715960301286210376a^{2} + 517072425571531839571963189480a - 487978522358349042407440637072 )x^{30} + (-104078501986420844203736951960a^{2} + 557455213278667404775005723104a + 624234821193830746687914668368 )x^{29} + (-485216279561269958470420228180a^{2} + 437774398933618095801699347168a - 30838437089757478217890513560 )x^{28} + (523205724429923978080345747392a^{2} - 572234027237267692269430796544a + 163153786018043604268134438848 )x^{27} + (-94064557701636256079095503800a^{2} - 161837823413683599302095673976a + 447715519531760999053484820584 )x^{26} + (433696863380564958977639302896a^{2} - 317359658652683923610707646432a + 276506986068196288522484901072 )x^{25} + (-528769683085534017577663987356a^{2} + 581226402651869783285289104152a + 125819683888963301491455365956 )x^{24} + (203986937161994377633769272032a^{2} - 147191014848793376668728205328a + 607407219071355334639093783040 )x^{23} + (175502552267500650050543831720a^{2} + 164915490823109637320340855296a - 531508036261908685349788417184 )x^{22} + (-259611343253136671710246966320a^{2} - 227393143843150558150563478352a + 208035815338093154808530224816 )x^{21} + (285063847319906051270873707800a^{2} - 528808577254027915120335175600a - 565036037311278720156931992736 )x^{20} + (176339648503639931273056889504a^{2} + 385636031595346303998836802144a - 330385252075794069173388514208 )x^{19} + (-14593634975820781656933773152a^{2} + 471555118238684225692128737680a + 287988987579872579756092862840 )x^{18} + (-98706980537549047917385442672a^{2} + 35881543785994546789395674848a + 219017392471892696056018360656 )x^{17} + (-108986917224319294484874852556a^{2} + 348976916680230572841123423904a + 486840264705281497365311106700 )x^{16} + (439836084345110678268435057536a^{2} - 202564916878019105748061065600a - 494989007669630465964508487200 )x^{15} + (-292208558670681533932609596744a^{2} + 257181711158277985078013254616a - 554246299733727287212076666040 )x^{14} + (-71654864270535873539824384064a^{2} + 112337083435873098136613407600a - 53228854951772232757265207328 )x^{13} + (-70784206652919824761868645224a^{2} - 77628723365015440609286283600a - 397242189816910176159316006680 )x^{12} + (40171448884450754503706817216a^{2} + 106356589969451751582519761312a - 65566770593176863574626068512 )x^{11} + (605027260880249413598302921408a^{2} + 548819574439923561893295237688a - 484255519089772397881941898920 )x^{10} + (-546348468015377981233428622560a^{2} + 153341117603620310853139249760a - 452316697471504983800194195200 )x^{9} + (226891853970166773822199987884a^{2} + 8103916695924802949703565140a - 50436208137318526818076237312 )x^{8} + (-58263556590245820992912375392a^{2} - 105080508324031799448802568480a + 391295859697196547999391025216 )x^{7} + (-355411520966715447708663123264a^{2} - 168835285172890515667070362352a + 211966381298990313612924161744 )x^{6} + (234190760151519019813317995616a^{2} - 326339768195523677983116299552a - 24777474842640406325490736992 )x^{5} + (504752643045652258589727535032a^{2} + 243536314638492229436091952880a - 134871936481419511597910894896 )x^{4} + (-394889527290659966875266312128a^{2} - 128236637644100209146831102656a - 20525141913426277010776781952 )x^{3} + (-633116950814376004583290949232a^{2} + 68807487443143017866769995984a + 336956250631246921163095017680 )x^{2} + (260457598664680893525974768832a^{2} - 285095778749239977763180929024a - 46636917975212444259360084640 )x + 164420925836378145823890292360a^{2} + 480966377290389353601020032112a + 437860505637890777365792490468 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary