← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-388484882310808012014376241448a^{2} - 488736382021524817961069760024a + 84703038598701919407776532176 )x^{47} + (450837775441328104136272250528a^{2} + 18440622014596353778892998488a + 35757861387670158516665583024 )x^{46} + (376137793495894443563140635176a^{2} - 208632510182620705053728753312a - 574271616931940164557738149104 )x^{45} + (262770908822965710505926873096a^{2} - 236107960892129114076153307880a - 42210600813316684442745847480 )x^{44} + (4748001491886598371121969120a^{2} + 255079091139469051455632769952a - 270555827032882359803390242440 )x^{43} + (310076119252609249109215071152a^{2} - 620117673791371596140471989344a - 312617741154851341625342929864 )x^{42} + (-549113377943967724353504700176a^{2} - 180590363235149649147839489512a - 505367507417769102515757657472 )x^{41} + (-153648127132730003965557526484a^{2} + 379037195340948563678514031512a + 168360404455202102621119491776 )x^{40} + (192749221354822308257819494944a^{2} - 632113985117780237016425924688a + 109266591255683049449267529392 )x^{39} + (-621593241482291308156274853880a^{2} - 553608651688361024524921360576a + 353123702205279035421048293116 )x^{38} + (-449808080163467942281101815544a^{2} - 195595565540703461476176219272a - 241340163458871817049248704896 )x^{37} + (-488214795860116687986251437268a^{2} + 174596586055525220641914505544a + 598753174272431192259255466360 )x^{36} + (-305710775913233065088163623168a^{2} - 342347867880006050179009354640a + 270300949682443622022331497360 )x^{35} + (-3430063551806837233154558664a^{2} - 231951382568921235607384435884a - 388332647174571470029070297324 )x^{34} + (31424255375433135558467631536a^{2} - 138873150798758012393287922624a - 374225527236983438724487666272 )x^{33} + (-197451662037180307247011765772a^{2} + 4057839733690146316265707614a + 106715869987319077582554173790 )x^{32} + (-388725910065061666884630551168a^{2} - 445068856008238487796157955712a - 280669094408612572432411055680 )x^{31} + (353632876928851059629980323392a^{2} - 13415855209100442934228728792a + 502886465591772647685637101088 )x^{30} + (-496201420098625925038114334320a^{2} + 340698741245985552016740663480a - 498502834076060139929446111960 )x^{29} + (-46181545349179650666409041988a^{2} - 269859119228299517402639296464a + 212190007822164363447539584796 )x^{28} + (-365466469838554913597147207056a^{2} + 227942781315052560170890211360a + 393738383449308866726175511872 )x^{27} + (-616829292043386152896603629304a^{2} + 343367659599150508226188572360a + 277717475768222366658555040856 )x^{26} + (-465778721475438757706017073304a^{2} - 354942808088844815036088890800a - 336848189293687918749527289288 )x^{25} + (-519455120353251628074121853168a^{2} - 214655842896092039001587986868a - 631620611341890816990425023744 )x^{24} + (85003456343651499315781313472a^{2} + 20851295924861277708875270016a - 619517280224138600717551126112 )x^{23} + (-142726325866057017468481966704a^{2} - 96267466609223298914458544640a + 100965259567126738431254999200 )x^{22} + (-286006724023886668943842942160a^{2} + 174774686573055642603078905360a + 227909971066371478492675414736 )x^{21} + (369593957190434464251969952320a^{2} - 508674975952418570824456998120a - 69015754896468119013386510648 )x^{20} + (331194419032076795543833814736a^{2} - 434710638120256946130289351168a - 31195047085211889602866298912 )x^{19} + (-416693660722115423951053586072a^{2} + 179280760993256042411181946568a + 176009396558045453986058939560 )x^{18} + (139257702057459085184148810992a^{2} - 502364914748885233490926555504a - 320579132005527360217275530720 )x^{17} + (600086568827251449792541120660a^{2} - 374049435311902600613685620676a + 170442350577261329164450527536 )x^{16} + (-297663292283068777780738972320a^{2} + 206341833752506227134858622048a - 615389915385139427352071890400 )x^{15} + (447262571515562763563079989648a^{2} + 202673759245905677156704611472a - 319459609610776864186067771552 )x^{14} + (-105362512535417801253821572048a^{2} + 377864215470636199915263414336a - 288709347201860135826579040944 )x^{13} + (-75963854649224580470175531160a^{2} + 510831683915761437665259922768a - 576591345293763484450238300864 )x^{12} + (346785067126808392612918419648a^{2} + 1639788123103440626918876800a - 160290857968802649942829370752 )x^{11} + (312907195026217389899541234392a^{2} - 203094483520876653593314864776a + 75932485358827626498588654312 )x^{10} + (-187994847300755099821186606752a^{2} + 548410623284689178957612642768a - 7915510428355736916737934496 )x^{9} + (-48745546097755349699847152756a^{2} + 219798022736027616957477725908a + 569124033379090318077955123676 )x^{8} + (264794848405603256046028305088a^{2} - 515106836021999021391638194240a - 350574194449350770074245351808 )x^{7} + (-305262803239636670351599431264a^{2} - 385416870293113552914867856400a - 630767638248737972474363246864 )x^{6} + (144443412407333485722609578688a^{2} - 491587723096215368102840980160a + 356411993991404690026942603072 )x^{5} + (-543713406761285823609165261408a^{2} + 209275169286424975558367001672a + 536243266167773512259119863072 )x^{4} + (-87145267029783527503604476416a^{2} - 190201506093692677325918899072a + 180406904435711631339794252416 )x^{3} + (-620597249570337832994618587920a^{2} + 142535755577078475105228481552a - 328216414979355952401342594496 )x^{2} + (77083602500137510179635446592a^{2} - 169004719722293498887009474864a - 618772770248663815511688790240 )x - 148794853905826305831484597692a^{2} + 344250524718939377533939901580a + 593472723345826248794744350536 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary