← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-506635992659420968920691826432a^{2} + 406267158227715519905195582672a + 578313177025648215551630826960 )x^{47} + (-42701262240373698407311144300a^{2} - 504386911933531907130819861384a - 589252270107037308487132028280 )x^{46} + (-113639975783991334100500453856a^{2} + 354426454620164347292018448928a - 434484127763503501046258973080 )x^{45} + (408214642320810400243216587300a^{2} + 516666846445751541466984806544a + 549257607065411344189989826432 )x^{44} + (242676876361736536757943313408a^{2} - 44037121551073858256266338704a - 620023312847646766651751611136 )x^{43} + (-111873445506714551788480844460a^{2} - 20922086654021078011703103160a + 418881760766937369332681963840 )x^{42} + (-458142189479224197499609208480a^{2} - 90372765611303545249862822424a - 111468128165562198020252997080 )x^{41} + (253788874381105425295881696480a^{2} - 464873403807567370560829792296a - 215001157878667983536505069744 )x^{40} + (42961641596976990850636670912a^{2} - 122429061092926271468805728272a - 310714253358310383121989158704 )x^{39} + (-115528567240088480867274782344a^{2} + 348527858281589508383354560264a + 38163119357319025720376937936 )x^{38} + (318023558574733825149468078784a^{2} + 596526850577236949623592677408a - 312915314989841105696713033008 )x^{37} + (-534262814592080006576904613864a^{2} + 313179098965745940708274232308a + 205682435451802959096458416008 )x^{36} + (-83778658601171144299521283184a^{2} + 367044435464239459189244529312a - 347552883878558164949477261328 )x^{35} + (-519502292712246200367578593800a^{2} + 391169487272468769886573922780a + 389838177040125612005546692796 )x^{34} + (-343952124725169084864080106944a^{2} + 10952435798654552545620642432a - 534367522357394825470084537808 )x^{33} + (-498998612400058402229353157302a^{2} - 472730892992851016360566305670a - 401633691198298922172429907912 )x^{32} + (70444962325880334225986208048a^{2} + 632224204405522632162505830912a + 221351587544942397387182370096 )x^{31} + (-552189602937679902150547444024a^{2} + 254343088808145699589524581320a - 462850624442623477711013817664 )x^{30} + (-406228862414812382834689250392a^{2} - 360760093655072884468964336256a + 189499529532421702173558955184 )x^{29} + (-301531722556426293079007271132a^{2} + 97676003654843963498013058688a + 174307013985309693165521563104 )x^{28} + (457113106927485393309239742176a^{2} - 465610170698401074367254570528a - 122385920444237672948459243392 )x^{27} + (-598282221303667524555932812800a^{2} + 278783320263731226762566216024a - 627746845707730440110444507568 )x^{26} + (-223116438060787899814405886272a^{2} + 119411071530293999365747234848a - 193708246451837690168100491920 )x^{25} + (413628615023941354889629682004a^{2} + 267041206545206968206367049136a - 255494081078289963349185805044 )x^{24} + (69079703696007402499877948064a^{2} - 596306773897185668966799472784a + 452603271440913013980993731264 )x^{23} + (-63405943204720631649305251848a^{2} + 178162582429522247986742037392a + 328014067940188246222066157488 )x^{22} + (58299103445723589744790348304a^{2} + 382291745849799610465301601520a + 601505692987193624243404964304 )x^{21} + (-344082201046161476819912243416a^{2} - 431034150008445567217141854456a + 29712411566138452426580491432 )x^{20} + (-198448449305073803523946619744a^{2} + 111586968035697159829753111712a - 75749171055061632036072422304 )x^{19} + (323241944031342329872180888576a^{2} + 328143677898597355236919026800a - 117998016589709828580798753400 )x^{18} + (-544367891813047271814028954672a^{2} - 522049441118740440837724313312a + 493184692749176192826988887600 )x^{17} + (441548105076609615168766503316a^{2} + 440094468491420197884708212872a + 103782793394201438202389121660 )x^{16} + (16067014070636147700927924544a^{2} + 140832634512357545894593492288a - 443792204191441340196281306912 )x^{15} + (24222749456875052602405699128a^{2} - 577751576459474037974402456936a - 405693252313592688574669330552 )x^{14} + (-287835930990646915371545870272a^{2} - 320768026726554038712970181520a + 533238582465060748304680628416 )x^{13} + (-121251679810113851628616141128a^{2} - 514217311424199749600250432224a - 178195336587474368093660272792 )x^{12} + (-51532778931403368651397556928a^{2} + 222925357229914021441725065056a - 19854299626013647083274993376 )x^{11} + (-94819468220739140015429356512a^{2} + 56111044072674862235940464232a - 132496664242183009778492587192 )x^{10} + (-627461332722687251609854169312a^{2} - 209626250879573104827531244224a + 129651052463774910056934379264 )x^{9} + (83531632846975009108808996796a^{2} + 447784073334810477970600750356a - 250645138951608184318432391680 )x^{8} + (414112537583852203764520801824a^{2} - 91514229782867546797192879840a - 57564572658858538645072865984 )x^{7} + (13280648225988892955341996512a^{2} + 271320767513471347184672362672a + 41600627905596726371127127472 )x^{6} + (-480662903395619508647464712832a^{2} - 562822963422703218085284435712a + 222485386290719705227726790624 )x^{5} + (59869577513209098346629470904a^{2} - 457543100749347237114674960480a - 334100246738703145916917648320 )x^{4} + (506493496427739472675543781632a^{2} + 303858338130523874583654202368a + 107860579442974304925941377280 )x^{3} + (332607921211857388686589493808a^{2} - 285581241239653593641428615536a + 312347775961483126075367081200 )x^{2} + (405881607725928379168720774400a^{2} + 99562650846299587636696310528a - 588371488680870252377414517600 )x - 437879983112983664401402187464a^{2} + 575770561714780318661795183728a + 378655262433930935847726070708 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary