← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-388484882310808012014376241448a^{2} - 488736382021524817961069760024a + 84703038598701919407776532176 )x^{47} + (-298089566346452544398790071784a^{2} + 256705401504899187641178368992a - 65413095270203918190509096080 )x^{46} + (432968774429425327314361301240a^{2} + 198556235877966068376959935968a - 347182479910312995335724372592 )x^{45} + (-470983844835696314660538199296a^{2} - 98061500050799053547426383096a + 459960590486360089770511831016 )x^{44} + (-8653300367449377252677756240a^{2} - 328214942964705367348211142832a + 373121625650524223450238532184 )x^{43} + (-130722161626868037162157668624a^{2} + 309647813345692763963403220584a + 235354115788812580447288248360 )x^{42} + (245466324292340831062589075680a^{2} + 372407264366673379412610166720a - 614772096551662062107922902696 )x^{41} + (-491419440640671247034552201320a^{2} + 179992437464511628991117056756a + 193173961321298256770348265400 )x^{40} + (213670809048937521790332125184a^{2} - 518097980506110069572040823344a + 153055901613365602905715052752 )x^{39} + (86131686032554138082372694376a^{2} - 569424367869328367865975777232a + 425986237132571835128334740252 )x^{38} + (548087129990590580852314544760a^{2} - 285152013385641328853110457928a - 625230411955066221517409309344 )x^{37} + (-439354465508995955077119568908a^{2} + 418542403572886572805024285104a + 511798143281660439087895046248 )x^{36} + (-134693312994560813076288580480a^{2} + 41483912873796422528234781520a + 212021263511091134090263345552 )x^{35} + (-489108386522389091770943901344a^{2} - 246153352007190091857142959076a - 178800344300304824540520826228 )x^{34} + (307953695490453523253321484304a^{2} - 214205437537299207539660960640a + 10961309729323622976055397792 )x^{33} + (437933661841064853172543101200a^{2} - 196991026557309114414350006230a + 153532254994137609228649641666 )x^{32} + (-162630656462487542845027809632a^{2} + 170543710844259287744063733536a + 510099501458018112739549188576 )x^{31} + (604320143319296073469782185296a^{2} - 255033239891820568456653179288a + 172972745031014320699202343824 )x^{30} + (162611346069163468557394765104a^{2} - 344530455962482504876588586408a + 245577936141776784018198547976 )x^{29} + (-109233972688922148987807442780a^{2} + 483705423817228505283572625024a + 403685578695110624136590778372 )x^{28} + (-275350266825203600969092090448a^{2} - 340036786580064571163687876672a - 414456832720690210726979880768 )x^{27} + (-364624252636539134829411920760a^{2} + 579005215492349741647122316168a - 27796434111404289525527686616 )x^{26} + (535745956248845565239332860072a^{2} - 388752611064751382955460570992a + 106441561848524886648593430680 )x^{25} + (-239516480879529115138615637432a^{2} + 180668039018363426943299579300a + 265289825594410895699760469112 )x^{24} + (328977304175623646690879151424a^{2} + 250638924581649226546615107360a - 187634019075940899210592683808 )x^{23} + (-568236588564828299821142625296a^{2} + 382353363478796573218746857584a + 530061794638464766389425584512 )x^{22} + (534138721923653423253514473360a^{2} + 312790129115265051056776180720a + 377206014249450541549173535248 )x^{21} + (-392968446773411281127429577792a^{2} + 304199141059273714643829796112a - 216553485352860615665337661808 )x^{20} + (-411649715897176915618395977840a^{2} + 192408109378931240680897089056a - 73081385613319564908600840768 )x^{19} + (-246175654726946066308946710072a^{2} + 157603148281746436331471749848a + 202247002261867283568942259928 )x^{18} + (-618974504145976635669989536656a^{2} - 293906582866673201903485411888a - 397154720621323555993520440864 )x^{17} + (-119022430405309785024822151284a^{2} - 57515174049864840804373613396a + 149511911545491893914174787496 )x^{16} + (-413956604898128043471033510176a^{2} - 178682285422953726104229041568a + 352369358323791801064442170784 )x^{15} + (135941886659660162628272364816a^{2} + 198112846465476102553298475216a + 49622535323200150432699701344 )x^{14} + (119633915444147847105528820880a^{2} + 513894918189315931423170631200a - 24835314764325857307390991088 )x^{13} + (531219683542208361893069542520a^{2} - 435423205341928747667600536992a - 434335866789336911952362237072 )x^{12} + (-233738867739582057535036034720a^{2} + 223186730131502416415511371776a - 495056035438585541562897339040 )x^{11} + (-311480642755182439341439823208a^{2} + 610513439613088858888813125016a - 479159209351869591735175403736 )x^{10} + (499141113612512588922404242432a^{2} + 269173883212187990495233568368a + 176257730680385505725478021216 )x^{9} + (-196743236862912351730785258548a^{2} - 168953198503052409413747233580a + 344625824533901791178882344828 )x^{8} + (164922879508634480189304725568a^{2} - 370741347016956515902381531264a - 430078377241842727828371782016 )x^{7} + (-606313977899627033412230032640a^{2} - 248430753012199592008481715888a + 54496365401818049211384661424 )x^{6} + (-231816226133939863352380992256a^{2} + 624275043366828774835354821824a + 249292945022339396671229564896 )x^{5} + (214136595479009895872576832352a^{2} - 584295889600839487004313066520a + 620111036194460798670444192784 )x^{4} + (-280119670956706287782393295360a^{2} + 615431399794699668432028465600a + 574331715667152101312689013888 )x^{3} + (291026022385474287667384917696a^{2} - 8526326693025833245853110272a + 287323633656441351370417409344 )x^{2} + (248814140362226662061439432256a^{2} - 117623566109881035087471304912a - 574988618461313099245354751552 )x - 389559347673423838189732631452a^{2} - 313681292668191770593693920196a + 380142350463755604830768933944 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary