← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-506635992659420968920691826432a^{2} + 406267158227715519905195582672a + 578313177025648215551630826960 )x^{47} + (145666784474740303163572186748a^{2} + 164700469311309808960636388792a - 149791113964926864632637781408 )x^{46} + (-407805464475726489042818098752a^{2} - 355147934516957411138935567824a - 344217086005320471127208638648 )x^{45} + (-308504718292350244282044403076a^{2} + 432949785006102561548242256960a - 411237999886700910001024876352 )x^{44} + (153559084770320604232342100432a^{2} - 336212184525881843318391361360a + 276427408784831001595435595552 )x^{43} + (302875019049108589838587548316a^{2} - 268934337549164846320280653672a - 590724302953897682222601926616 )x^{42} + (-172553566070985083080777224280a^{2} - 382912022270427755800015071104a - 79886237697068974553957250992 )x^{41} + (-285991198238639031411471589340a^{2} + 608471414822063583839388568976a + 183273051078081214454622964916 )x^{40} + (-470936049520468442949551378656a^{2} + 450292664438567929678585626448a + 289505388329539070738985624144 )x^{39} + (-522175421772076570235594079136a^{2} - 18742017133143078473122447136a - 629729712188001546468459124160 )x^{38} + (345255862266342182479338309552a^{2} - 279823962298807506245918564064a + 387757335373208548108085095840 )x^{37} + (480696140271855503093035788736a^{2} + 249144787940095504577155578756a + 382723962794595173237061519736 )x^{36} + (-205332249365689165871971019200a^{2} - 401859970773178425041027701936a + 482624240405145903404799618112 )x^{35} + (341205875535896435716622411384a^{2} + 413507131481812635942727631012a - 229713240724657672417355473660 )x^{34} + (-250617694583234793876285332640a^{2} + 265124640592735037989862459568a - 318491470774190111475846293040 )x^{33} + (-38332604149275597028482868806a^{2} - 455422087694100096154948631850a + 473336391342420675290197536108 )x^{32} + (-488223123324466581229846878224a^{2} - 179458493622905937494169938624a + 167172716282875593358982701488 )x^{31} + (370787076597021731055167305512a^{2} + 461034987430935062729988965528a - 149858224867432952625961614016 )x^{30} + (-509070370212346350251303785080a^{2} - 577300767461528952384897549344a - 254334642134352427718092529616 )x^{29} + (450462137034433294027723291940a^{2} - 25409322394114894586607417024a - 314008088485431440111924282344 )x^{28} + (35535453458610849252687917216a^{2} + 8830653218028272165481140384a + 282064277228790477742600629952 )x^{27} + (258414262768116477427404943248a^{2} + 232750180201830677233986161440a - 36157256980326244788519859472 )x^{26} + (244819505899043627985124088688a^{2} - 408329356854040691051760066000a + 577091786632793862481373011376 )x^{25} + (424264698691107736066130678460a^{2} + 407415880330885496405134918536a + 505266289331324318683185342524 )x^{24} + (-274421228599040885315169303968a^{2} + 473611965318368557194446951664a - 231609483912753008015685058688 )x^{23} + (65450018072388342889608114936a^{2} - 433186199579239231035432188672a - 70740309735714486743040801392 )x^{22} + (-243705897149475166332496706992a^{2} + 471003564939072561452251807120a - 239061894955976635154503493584 )x^{21} + (345835601220403488905787928024a^{2} - 291139536173512019520997129856a + 494828581495036682484936131080 )x^{20} + (608246611883301709682191456960a^{2} + 149085536817821117939583974240a + 145862141544131504371883924512 )x^{19} + (134513850760864138848692932896a^{2} - 100668978179083459433688320192a - 355853932508889688696864569352 )x^{18} + (-538548684717405063128372301168a^{2} + 303015130315254108316357693824a + 283953302234020035541302963728 )x^{17} + (-525840832128823022759954203668a^{2} + 559373485002455102263476410472a + 337538768456118496087072575108 )x^{16} + (-516482598862368304574100036928a^{2} + 73093444013959286778092728960a - 62642829227013984964010041248 )x^{15} + (427634169720323188138590557592a^{2} - 175173764845097946293761897448a + 34218661180000985635281252744 )x^{14} + (-592969799322041441252172451840a^{2} - 554142466960743791929919538192a - 6339937080004826563552198112 )x^{13} + (-64052273303162655323911158504a^{2} + 80494597072536350659285615296a + 192551446210966235317109032424 )x^{12} + (523920029207735141775789468352a^{2} - 47672482223180617172599310688a - 349204858113556020869174043168 )x^{11} + (-246594192001107390924923228144a^{2} + 324718382084502145051727075192a + 393630800701642479059183667960 )x^{10} + (-612509214966020684008017617376a^{2} + 59165891925207441195712173792a - 281549434473944563453658008672 )x^{9} + (226780475548067661075036066140a^{2} - 453738388627142921705803171100a + 123112084875076016492701541056 )x^{8} + (-471040938621960788505587313312a^{2} - 481685662977313955698337050784a + 402962717512882090186575800576 )x^{7} + (531983631195915236757353236352a^{2} + 129306989220198007795050670448a - 317440066696080494185633964080 )x^{6} + (-189325588997872187146255696064a^{2} - 17666248162541230426822837536a + 585925282820241913182359182880 )x^{5} + (236472637243554664970284309240a^{2} + 475456916382193213516175123888a + 384192502074385838837130381008 )x^{4} + (347682979455889465411227140928a^{2} - 604399394415392294264386887680a - 626852976410594927012887641408 )x^{3} + (-247747980168224815660082307248a^{2} + 223113818910185870955896253328a - 428402415748421178923545556560 )x^{2} + (-69517352305563961629075472640a^{2} + 452574745607246750393068238336a - 529184145239923101690972568032 )x - 386386668721182725156696321464a^{2} + 67401094676021746023035485152a + 493064033021940551507580425444 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary