← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-388484882310808012014376241448a^{2} - 488736382021524817961069760024a + 84703038598701919407776532176 )x^{47} + (-373700124866499271567691350320a^{2} - 159433908753985965106277805816a + 532620910684419637583523933096 )x^{46} + (-545330918919506260313490780392a^{2} - 600103325761807371333993136784a + 14488810762055371608056289088 )x^{45} + (-117892057974019292309359084248a^{2} - 592574811364890212539557704840a + 15256861930338845380980093544 )x^{44} + (-470436673203878111260820459584a^{2} + 609025079814954358537026941408a - 128570344751584959435212955128 )x^{43} + (531866478965925557235496940576a^{2} + 611350616912340169060691018192a + 256551492233843739683865651248 )x^{42} + (-412574153443465364487768247528a^{2} + 574528241329937150742158342888a - 196045271650579051293557040848 )x^{41} + (-163016420564385708990287544204a^{2} - 105588793763738465146622414884a - 1982751925130390441464051056 )x^{40} + (-110227140198249133097769656736a^{2} + 533477890464272930657289105616a - 394306957101156871123603291600 )x^{39} + (-627268902129926878661877256632a^{2} + 96667619985814701775443508272a + 242769217214011859758664805212 )x^{38} + (406076138164551315554436832504a^{2} - 142662061286046811023942741960a + 176420296121049691786900320096 )x^{37} + (88919939866510849399680710836a^{2} - 627051108456574366802131085240a + 372784874822114752541573449688 )x^{36} + (-615751982749931161164510499904a^{2} - 91945705737312824321078519920a - 33651987241778299139850328912 )x^{35} + (151710181305885229644316961816a^{2} - 221885620891248554230100777412a - 418808111598481125572844279620 )x^{34} + (72651942407826385295456761248a^{2} + 511774890259464185171023946960a + 454683244454790476014901413456 )x^{33} + (343849397211137205480414824684a^{2} - 248234205114443097400313232750a - 288090251549626897994173680630 )x^{32} + (-489090684751670237182718394208a^{2} + 79901701031212426400054053888a - 396816426461044754991680213216 )x^{31} + (-473744784285282215698259203248a^{2} + 258504774057592670538290732792a + 604072120230604921508915683120 )x^{30} + (607801114354331951922179667024a^{2} - 330227113120771836204945060712a - 595211614290847949604744576184 )x^{29} + (-369654998037875097134289812476a^{2} - 271569834791769788072684876296a + 528872767232446608551091951060 )x^{28} + (-441422126792490917104654591760a^{2} + 190645437712469577654727336224a - 605714536595143952673718973696 )x^{27} + (145073072945629495944030748744a^{2} - 101280560188934798812351790104a + 633358703113331154416608920008 )x^{26} + (-244319604220006486112368706712a^{2} + 564297295655468291545399238832a - 295858336632934578851458861672 )x^{25} + (618673149889544506341970796208a^{2} + 41788705733085092511330036756a - 367916922154001846375839906176 )x^{24} + (-439016846258573080143174858528a^{2} - 513307611723198788270963099072a - 213192026313112294368994260352 )x^{23} + (-202363864618898965903384298544a^{2} + 238320090891196984529849124336a - 44251340342872045648988852896 )x^{22} + (-588259071297872416990521030672a^{2} - 183540341225321128117629650224a + 22117045049105431303709180688 )x^{21} + (-455819396743504591760222756432a^{2} + 433140558454153184764687258728a + 94944025967511682344747825600 )x^{20} + (-357500811752042934255897033008a^{2} - 343213505580170730557036535872a - 517257332589237246857101654624 )x^{19} + (72615013339843092742869809368a^{2} - 583597401644262939570129897336a - 421107958924938065771588691544 )x^{18} + (503628061417897073506062954448a^{2} - 319870379834113340898826285200a + 45029290123270365992761875968 )x^{17} + (229760120548686057498576575780a^{2} + 283769366018706827610538069220a - 511244069973153552244839094696 )x^{16} + (47940781132885489428526672224a^{2} + 214493374941419439058666176480a + 416235135267263151317687091424 )x^{15} + (540372989103753086311881461744a^{2} + 340695203182246261422420375472a - 152461234901166268544891099968 )x^{14} + (611130689910996219653379524784a^{2} - 628564369343360023993798402464a - 160509348522823411956485145456 )x^{13} + (192570484247844227530021825384a^{2} + 447776182259171288242892811952a + 87058381904003541036804431168 )x^{12} + (-512021262567452953611600329344a^{2} + 401411544374596709607922367648a + 571898150944260579335528046176 )x^{11} + (157590065873591067246714610968a^{2} - 446812873162417412571166282152a - 325892014078958722876561011480 )x^{10} + (4498194606659537136328800128a^{2} + 131561905093643775379238956496a - 69824834892479161988983700064 )x^{9} + (577345843400048233880010309404a^{2} + 426966110916863788916148650212a - 115045366102563888167320609764 )x^{8} + (194199811887288463614203382592a^{2} - 170255260485407794743479591616a + 25456442695659214107659130688 )x^{7} + (555320006213129050324693985408a^{2} + 345430111387963592008592915984a + 509070263747016179704266021072 )x^{6} + (283530967761998193127474917152a^{2} - 533482465082659477621501651168a - 198832112681126034674302681504 )x^{5} + (532964866261844929871243976320a^{2} + 24100512068145201622408317720a - 446276628713268435925321265456 )x^{4} + (280009469079907663550725068928a^{2} + 173597915676142085265106869760a + 212439087209584830239746782272 )x^{3} + (109189390046217572656395096080a^{2} - 483394020681104979977354463072a - 264912514545966512907559693520 )x^{2} + (37166678928653695759353150592a^{2} - 611156297475287977192107310800a - 151558499747973805656070411424 )x + 206099698566608264648177966964a^{2} + 94585351478776311267300503932a - 497148142297648794708493680136 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary