← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-506635992659420968920691826432a^{2} + 406267158227715519905195582672a + 578313177025648215551630826960 )x^{47} + (242344135607043308578743625156a^{2} + 331944298950570545719383196960a + 387359676984326171118218251720 )x^{46} + (587917038306406517779831375648a^{2} - 489079487688088982762793491568a - 44860023553363507950323345160 )x^{45} + (625022732595282874872165305292a^{2} - 275632460434648467456020107680a - 280738245745598078832327960480 )x^{44} + (487663216045900300268066418320a^{2} - 377561440112049166095174672688a + 100955322413499786670353191888 )x^{43} + (67978509918416467056194275588a^{2} + 465529958766565786973853739472a - 451067530788985635218812334136 )x^{42} + (-247047271441733642141943145976a^{2} + 330339777916957975558046995400a + 295010934405927671355518472472 )x^{41} + (-493687872450362293578055185348a^{2} + 310368502035619437419560069532a - 247614403716202356206659361748 )x^{40} + (215222910938442011365335275584a^{2} - 499589082885777851976119770928a + 546545848825686224201472974576 )x^{39} + (-2983802659702706063130935760a^{2} + 106448867605654363447232097504a - 205435399511288146533700246344 )x^{38} + (-567693469148966606460046479360a^{2} + 628516122277929442653141644000a - 593421896491235277981824083984 )x^{37} + (135493432308601543180974414976a^{2} - 193651014946723187527902646604a + 274451695016786674882164464896 )x^{36} + (602055764451966625178282499040a^{2} - 222854785382136911758879921008a - 72509844026470450897944144784 )x^{35} + (-455335160749790316969714194720a^{2} - 122085749137807183041658430924a + 259529566870044705839608869588 )x^{34} + (-241290190325342662949345000880a^{2} - 524640771816263241003845928816a + 199686737307343937956725640160 )x^{33} + (-509427187432742367096729502930a^{2} + 404710572226260940484906191942a - 80625344642873456587764587680 )x^{32} + (633726355433276651522609244976a^{2} - 41794328920980294708543592064a + 171812426255110237011834470896 )x^{31} + (359514277817120572229022150392a^{2} + 55261169084112702879793748984a + 53965806713971760037755456944 )x^{30} + (-489664623447911020068568173880a^{2} + 505228423194481722459212193344a - 446645763224740756823596078000 )x^{29} + (608071061332816167279499550796a^{2} + 173910280212874746220625978224a + 583077170660645281278408652816 )x^{28} + (149037470994812686757419948736a^{2} - 504636531974502159233362347456a + 438264685081280157727448573056 )x^{27} + (-336886161747914675256551580360a^{2} + 591769513691612335256519903760a - 135824712273454797224023571720 )x^{26} + (-363763636733936166296469868448a^{2} + 578795332357252851058162207056a - 61043054401203425991200640432 )x^{25} + (494564896103633126886328266156a^{2} + 328295647240989649403059670144a + 448361323885029789210207572564 )x^{24} + (539799508858774950425620526752a^{2} - 276173184156765202754253564816a + 82673153497156921569758131136 )x^{23} + (493189383202834701351617413608a^{2} - 555272042467396415651608500592a + 371928054713439936765351169664 )x^{22} + (177754719734088181541339571216a^{2} - 255489124868126658481874655408a - 151621638442703363334968892912 )x^{21} + (-43059328153714888314480874712a^{2} - 35661820476194382290941756632a - 343966639234636563527881386400 )x^{20} + (254510692393360895522245388224a^{2} - 46325954490832233830736175776a - 577807943753691126320048355552 )x^{19} + (408404035425031782433598024576a^{2} + 412168892173091514702579604640a + 45984654908738447195501834920 )x^{18} + (-391455688925766401390711240784a^{2} + 562592273346589674263669253184a - 180050067409346724857544479216 )x^{17} + (573511194428809148033780357116a^{2} + 22849312838453006314825275008a + 481731734389573012020998034340 )x^{16} + (-26985197191314188389149727488a^{2} + 595869014933049839840271590976a + 474585508004165868800100362336 )x^{15} + (253925118244604734045080054552a^{2} - 219512399135274825332744575336a - 261321577927899051936967166008 )x^{14} + (521213409826192340461075923712a^{2} - 587257232066288150278692400336a - 577277428388242251754286858944 )x^{13} + (292250510633516112543995150232a^{2} + 209652191391618347813565693456a - 374502463255362838338299851128 )x^{12} + (188363653049377011168443946176a^{2} - 376162908155250213310763466528a + 213689404089077784269079714592 )x^{11} + (-72759482523524852933230081744a^{2} + 544394242976238474425769234440a - 487375839837425449939582518904 )x^{10} + (-23866912390599639209692118624a^{2} + 76673466308744566293762555008a + 366985704403707090528461473824 )x^{9} + (-489470434451120472837636807572a^{2} + 594653825959948500826311501764a - 331813465250512291751640444512 )x^{8} + (-332290385345068057192326252576a^{2} - 442148774085858815931005313632a + 257221641053058836361608522880 )x^{7} + (-34285752112757589855800413600a^{2} + 536720796243682513097938693200a + 611699357634577087018320094768 )x^{6} + (-165567888267738335570967546656a^{2} + 396923758169985014103650049856a - 414072708853435781326142499168 )x^{5} + (582185553059014076401287210808a^{2} + 467503926545093204790200787808a - 241892091940251314358387412704 )x^{4} + (-284063018404109131165939479424a^{2} + 489265624223649607762846922560a - 237417496241117805428878302272 )x^{3} + (8412449467500078476941714576a^{2} - 354926057965349808887458235440a - 119483501348767932509802576688 )x^{2} + (162631204137264841697564231296a^{2} + 369371012260516585008521614336a + 601337377923041471465647758240 )x - 268120983988803399436867229544a^{2} - 188157968198275669964594853280a + 229442943946191608957507228084 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary