← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-388484882310808012014376241448a^{2} - 488736382021524817961069760024a + 84703038598701919407776532176 )x^{47} + (166448523678761828997947190072a^{2} + 211836816176495050685405314576a - 140295849191757651972887962328 )x^{46} + (-318385965495303717675961369560a^{2} - 205008455964276099217884932048a + 590239465519211817055631571232 )x^{45} + (-252127856423191069156344577536a^{2} - 424140451066593531220003531176a - 271991554763417959032614716984 )x^{44} + (-91463792093591344222035367760a^{2} + 524475275178615087430008536080a - 360052723265600012800115591960 )x^{43} + (503309242130972772197850617536a^{2} - 499426278550228340394995652008a - 494537967475284282119345254288 )x^{42} + (-443769649117026857790298360488a^{2} - 88292526828622591949253275760a + 440309077507866578642218963800 )x^{41} + (-475750682430758535052217276520a^{2} + 516954841915391007151931075040a + 312693093425681568631876828784 )x^{40} + (-526562784487740890664758040512a^{2} + 5861410429605118022710758320a - 208785464024647159655524773168 )x^{39} + (220082028136703458666792842536a^{2} - 303075994804955355260353078976a + 150895386773647897027686719548 )x^{38} + (-74345681227860042419836649208a^{2} + 263765983932749969443758893112a - 272214991317303144811532154528 )x^{37} + (474700498495431564503032429180a^{2} + 11815411868758280031879509344a + 531647945216330469891654698664 )x^{36} + (129423840150154462192573099104a^{2} + 448965515188950746020816792752a + 128026357614062645359527930768 )x^{35} + (146374354563170637009913776656a^{2} + 589704756891414435917179699396a + 136011034141494455942624998500 )x^{34} + (286281427406403974459070377088a^{2} + 98081993770765364548625477488a + 469249384937795017351127539280 )x^{33} + (305483574473278490872961495352a^{2} + 232580976586115685676179763862a - 483860726228761836292295913850 )x^{32} + (160558200371652555689126041472a^{2} + 531215887143716773667160981280a - 407341922067476767719012614848 )x^{31} + (605874400306159094763005266208a^{2} + 318316313671945639931956218520a + 367146083631075815269826566208 )x^{30} + (112915666380815762643252423536a^{2} + 487498817373103458868094542584a + 339250965632364757818960025320 )x^{29} + (205552963288826556222471976028a^{2} - 85504502714431722175338857816a - 5958307510790286444555921828 )x^{28} + (-519126895374830296219265561616a^{2} - 14842522286320044064047110976a + 477378629428326614756196728448 )x^{27} + (-120052800614878169975715038680a^{2} + 228497723386906016003976889896a + 291834714571698779098620240120 )x^{26} + (482594496450133511282583877992a^{2} - 370771814262679843557708906384a + 348245873699709818095721542168 )x^{25} + (-334923676881971056153316411560a^{2} + 296145236805508796244117251244a + 150961863243148239680139006136 )x^{24} + (111248432650222086632836341152a^{2} - 552423696021803933593722670240a - 260555052646125622502020209792 )x^{23} + (388656080946794703315614822384a^{2} + 353102071944919101954991928448a - 529568902147797300677451417920 )x^{22} + (472145268072822581500962660304a^{2} - 51391627678623349421727120848a - 422219835890913627859817175280 )x^{21} + (-103583675199555414791278816336a^{2} + 615090719327431501382192554832a + 26752639111222226702394430168 )x^{20} + (544367483013253581456183003792a^{2} + 259311995815353375744149276896a - 494680803222394332979036605248 )x^{19} + (-23090304279207572916213279688a^{2} - 157234242234271337037820654888a - 580088641099888865353919110056 )x^{18} + (-472261222040796480183572986736a^{2} + 398381622694631234989527312464a - 63420279550397035774385387072 )x^{17} + (36384154055353134583767705340a^{2} - 498388300680606656362931557308a - 526163897324313378387215026528 )x^{16} + (-631000265030286542508626843296a^{2} + 471787774738245309355320713952a + 83069427289021469552996474464 )x^{15} + (-70256168342238025047963189136a^{2} + 405845668747991548492473663344a + 280591511352310325091384084160 )x^{14} + (-414807420688768906151501859056a^{2} + 439161698448265347235727124800a - 163426571395642102631231674544 )x^{13} + (558089203528519065752930039128a^{2} + 28433808161160889221993728928a - 16151879414929524274658783856 )x^{12} + (-33870319196711199037513682848a^{2} + 65626290084640393860199886368a - 583187470540187225560562430848 )x^{11} + (436143834100763571401070884024a^{2} + 586286835560069705938653580632a + 293535311388489897155003803592 )x^{10} + (107228117055426162293779457184a^{2} + 523913078439056775646998703664a - 130373375651727077697712993440 )x^{9} + (452898245154301768323987882268a^{2} - 562356329031792873371078704764a - 486699246602439579707901295428 )x^{8} + (-605138128070236638521950355904a^{2} - 210140364542026229319214078976a - 42035974695335636106813051712 )x^{7} + (-214148474795254950678301916512a^{2} + 620702896153775102871887435504a - 175522525139768250684277352240 )x^{6} + (569634580026855914993044197408a^{2} + 355002235337291531462810059552a - 109907594748250104696021178816 )x^{5} + (-219473550112452237742829648256a^{2} - 124955421621098207553887488040a - 541344209050105707597310374848 )x^{4} + (340162081414804487259375621376a^{2} + 396549014750049664358213021248a - 28529254352887611994883486144 )x^{3} + (-26502966654091397076790731360a^{2} - 251030241950126298638941815280a - 187541906446519029032761743856 )x^{2} + (-39718691652759197547178798848a^{2} + 9383691497571003219940152848a - 411783122145226658261796792064 )x - 575626553673225679874496004940a^{2} - 300900336637080498768430330388a + 66795203249908904050763136840 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary