← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-506635992659420968920691826432a^{2} + 406267158227715519905195582672a + 578313177025648215551630826960 )x^{47} + (-451040956704707831464797882420a^{2} + 393244110725735551156761629160a - 183736549450632439606769630392 )x^{46} + (-408509596189899558312814767280a^{2} + 576295179295365144928940210448a - 100655671427151621131455415832 )x^{45} + (5177875180322163700675137028a^{2} + 625552537976890949623409086976a + 590208627894757660837783281400 )x^{44} + (-91313713928079877352564322848a^{2} - 49829241313669231847615930368a - 515842931736174049931518326240 )x^{43} + (-498423260178250664644473233476a^{2} - 34874621697386630995516363296a + 456136942210722916986378276152 )x^{42} + (50448744050984457636371826808a^{2} + 478872953893646840353768575408a - 585334742251972675840009506376 )x^{41} + (-275037397280370299065458222680a^{2} + 542571918983464056994790648368a + 173453693850642909367296643336 )x^{40} + (-631213534194479663990416204320a^{2} + 528410121891268638214762501584a + 395557618652349510000119624912 )x^{39} + (50910239785929440536246545264a^{2} - 37631822372993838101396000088a - 622902272720276723964688722592 )x^{38} + (325958112869732306404846073216a^{2} - 492061977016754699643836756672a + 465453434504052689078089034400 )x^{37} + (310467025236500953664021840568a^{2} - 475330471308508183138757514548a - 31057742240806917453657099224 )x^{36} + (557288988980390879089224823344a^{2} - 206345212124652359595540691104a + 260893370936476594859351226384 )x^{35} + (140877545263728005015097044816a^{2} + 336155808022914076802480378740a - 317715663595765145257969063612 )x^{34} + (-292252117826382585339022830048a^{2} + 305823079319391705451754433216a + 189489725126388238808479300608 )x^{33} + (323368828309329302131092528994a^{2} - 354872111179536892057241509610a - 254394496012650998183295947048 )x^{32} + (-119383484747311665599799758224a^{2} + 110365717199064607389147165120a - 293182370976316804134808616400 )x^{31} + (-408641404251195632634317206472a^{2} - 420002013544056545072632249608a + 211037494110924277843715667664 )x^{30} + (-4088655385169009561389887160a^{2} - 312343265178452774775899177792a + 594314241529599813952821639952 )x^{29} + (308672738044980919729173798788a^{2} + 231652060096957107455371647912a - 204630738863681668496043324248 )x^{28} + (-583871520861767320545896600032a^{2} - 391578051344443851006872091552a + 358310229261801637334940405408 )x^{27} + (308336193885804929187580887424a^{2} + 371494693999153179644192634280a + 391482417785267459880533316552 )x^{26} + (-480260732226832133440578002208a^{2} - 504164503699064767342361145264a + 105001774080932955994289145536 )x^{25} + (310832899735345014581970847116a^{2} + 166653640237703629486744179672a + 233857879335168179417199601628 )x^{24} + (449026822590014432697040268256a^{2} + 439201536630912496092261363184a - 225519409517255447552790445440 )x^{23} + (481099701314187784872305738536a^{2} - 450941064892734793043600255136a - 171456779410478633706660180752 )x^{22} + (490535540529461995369648391760a^{2} - 493203196277419813499610098736a - 424158086664306486574523798608 )x^{21} + (224356299803353322816625328088a^{2} + 84541103304899166856960942136a - 383361141724985131423110695464 )x^{20} + (337288985769908248182548048032a^{2} - 334925997085074574655212893920a + 106974852051013341972715374848 )x^{19} + (-502524645335630319063091216640a^{2} - 363081832083642720363122950000a - 26802985990097294982172769272 )x^{18} + (-444741525452170580662278651408a^{2} + 155634951723008170440862829376a + 618417441120331472846668723728 )x^{17} + (182126146672367243661310165908a^{2} - 536589875117281922327328018872a - 443157047183677912231080520548 )x^{16} + (235745255903907079454768777600a^{2} - 532374848105692715798324419392a - 81531098937819128154848964320 )x^{15} + (-205528332886273782729796506056a^{2} - 221788069876031356714125406696a + 54601189076226449529057065640 )x^{14} + (320747912863268725519219075136a^{2} - 561218743971559212551624052080a + 246356016168860522679532049472 )x^{13} + (250631258048123462697277346456a^{2} - 106945782071399639328882475264a - 226831599730045702604007646648 )x^{12} + (304361808661060793812748924672a^{2} + 233322250966644942318003377312a - 582722951797282629796999427360 )x^{11} + (-552810276929611818127711239280a^{2} + 183321241905031143108167631096a + 2696631127733812244024537064 )x^{10} + (6347948581182643735256558784a^{2} - 551842474960181198683795074624a + 334357681888424028021782953280 )x^{9} + (-533764996443964439574760728020a^{2} - 337393169853606135379537331724a - 164768191155778871924610534592 )x^{8} + (-128387592835523546201983294944a^{2} + 85986821028947774102016770912a - 625749247199104055169728016640 )x^{7} + (-386196966494062890661036136512a^{2} + 42488792276575147064213585552a + 609141165392332123259658548720 )x^{6} + (-123787017130947246960052277216a^{2} - 105441430017911842611899936960a - 483222580544022995862270488960 )x^{5} + (45540933835799565457702267848a^{2} - 455735288123814048008338554544a + 393347440602158612986800694624 )x^{4} + (-162948914187293268041514727360a^{2} + 164856393330463836607068660288a + 507397661019773731439387716288 )x^{3} + (-378332974826524566722493966096a^{2} + 454920184772236531313657515152a + 558917057840984595194985797008 )x^{2} + (-28057615819266635481878095616a^{2} - 422009965239289953791725188544a - 28432680608416118333818867552 )x - 195961762845520987043562433192a^{2} + 574498307540206931350125611824a - 41419977889554267267268808508 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary