← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-388484882310808012014376241448a^{2} - 488736382021524817961069760024a + 84703038598701919407776532176 )x^{47} + (152015554561232616294624833976a^{2} - 151256342456546533009774114088a - 579277102139881032400228319088 )x^{46} + (-8851413165195303990665854520a^{2} + 362627680919616942015151209728a + 538422017603390360938914817408 )x^{45} + (-85572623233997308551012650792a^{2} - 159311473129262464615319991792a - 116346254252703343953072783944 )x^{44} + (241319384647930292291500171120a^{2} + 218861405459730958733106344416a - 10280722567327506531619076232 )x^{43} + (628178734392384244330365400568a^{2} + 345448747867412939746079822008a - 398772096797272015008352842344 )x^{42} + (-310330620157344267665001809448a^{2} + 353430022616108996294685971736a + 221098460431282835874230617784 )x^{41} + (167562179703173864087363528976a^{2} + 111690918756677732522654611564a + 588032164815288764820397244640 )x^{40} + (-164291546088971225000627735968a^{2} + 615139579933622854998228851408a + 593504059993843452982132024816 )x^{39} + (314735761028244092166752521656a^{2} - 4556723696329076999358685584a - 149369846423836062609000986052 )x^{38} + (213238944285522939796307456136a^{2} - 385409271354010900690458348472a + 180295332465949925779374774736 )x^{37} + (21845507715872744189906480284a^{2} - 248701865996283347554104588288a - 323599377181203087402692914216 )x^{36} + (91822639292565077502275597088a^{2} - 149123500968987844423515728048a + 552079489681280763795400322768 )x^{35} + (47169180146683855322487674240a^{2} - 402950232526936943993241683332a - 467811739959529701111419566764 )x^{34} + (31714533492964478378304098416a^{2} + 391627378958324560580197108976a + 517567045246755376368771552128 )x^{33} + (-5092052444920448015159405384a^{2} + 304579754838032345242255721826a - 110424930094449407880015381682 )x^{32} + (399733333054257560331430688352a^{2} + 276912521886243728695291426144a + 555877055563131291502845346016 )x^{31} + (215680516396525531015103735056a^{2} - 528475822228940314603156615320a - 236694623601287515118283204352 )x^{30} + (386293019070763230109253480112a^{2} + 498355766273456722221296504344a + 447525202962650721985290796616 )x^{29} + (356729825258805753636645824596a^{2} - 92437867600115738724876361968a - 610599624073337832448516828324 )x^{28} + (447589698044929167101951215792a^{2} + 478761924969618307695447109056a - 299480111994750688081538377952 )x^{27} + (290655219556567480538468559528a^{2} + 574833356180850771002428715608a - 380293349509811731076102330792 )x^{26} + (139437652704672544857247355048a^{2} + 350514365131847040943124832656a + 22049193502144268865534089112 )x^{25} + (227011728308882968524172811328a^{2} + 597576054333496441900740229908a - 221501766773362412989670242944 )x^{24} + (123144870283808802849560476224a^{2} - 560393581150947022316192663296a + 202911070074936383943120403648 )x^{23} + (24206917557675913902382247904a^{2} + 378611245085346467473033311680a - 528502695366147580662880067680 )x^{22} + (-331865881203077273772053413872a^{2} + 534049162595962657334015733904a - 98963782901208030617590185008 )x^{21} + (423213615603964147547688134608a^{2} + 164674457143210266700276126208a - 230688755911218324177082449008 )x^{20} + (-580746864766573717713437737168a^{2} - 586221723892041196182430261504a + 396945553254155626552646119808 )x^{19} + (31922993720527112915334914136a^{2} + 56643982538742897643652284616a + 7414793406136936536845387000 )x^{18} + (-609163681970561998600985205008a^{2} - 296352898053485722794404313456a - 43918009144990445634651971968 )x^{17} + (495574439252228301109028117420a^{2} + 218747124184509755942435344844a + 543576569521324719068068566696 )x^{16} + (-139446197333045722838208883744a^{2} + 163526301162356598318438002976a + 163374291860024529767180063456 )x^{15} + (-156592521384639300912763224080a^{2} + 406352084409066752951452695024a - 41323086764633642154077856768 )x^{14} + (-410039195953274785717672441936a^{2} - 87560835289595029081209164928a + 323437021966395856413773895504 )x^{13} + (-316462888770521063222050974760a^{2} + 458444130121333997209512021664a + 384786205948694018397754039696 )x^{12} + (510845682263796418694044425312a^{2} - 531318560148378324081170639360a + 86750612508526148245293973344 )x^{11} + (256472163716066263146688064600a^{2} - 303540977379547753559279786056a - 350127736206381975537646675000 )x^{10} + (-609638357765296925049815467552a^{2} - 48107636824353923961987445968a + 540728165365090291646037661056 )x^{9} + (185487441772174146678586563148a^{2} + 185468464114966491848391275956a - 5474506129194556915307411700 )x^{8} + (510250635897809521296797298304a^{2} + 290504807668599379049057983616a + 181032467229741693249297800512 )x^{7} + (-170931990791348208721553674720a^{2} - 34895834589816092493926851760a + 489777333076003836471590752560 )x^{6} + (-76386753843467101098712184864a^{2} + 578068610458695809606483946496a - 196626466409052979092254645664 )x^{5} + (534291221875365298220345735168a^{2} - 61906475335376294351170516456a - 74647806975663249676096554048 )x^{4} + (-379463495076200701397210174208a^{2} - 546147332065450856166762013824a + 437491589529293125281122867520 )x^{3} + (-522074637430827773098145304720a^{2} - 346947516602336346786145421552a - 212460527774176248661693406832 )x^{2} + (211016082059818912696784979936a^{2} - 413957331020165444426724777328a - 624311374988218363835714314720 )x - 83997571052612253348860932652a^{2} - 175173168890379607458204526932a - 219320459732932158472669669928 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary