← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-506635992659420968920691826432a^{2} + 406267158227715519905195582672a + 578313177025648215551630826960 )x^{47} + (-389759088336201773829380764172a^{2} - 626238198737384087763392422016a + 251114587797882719389499969248 )x^{46} + (-523184328390234444829605359920a^{2} + 457524072948978946779914641872a - 323172106262427418398366056072 )x^{45} + (-44094808380063272660357579980a^{2} + 486260708484606639435986403248a + 242242651217001872695868868024 )x^{44} + (-624049481393647876740570432192a^{2} - 452981597650765797232145540576a - 596786243131350207428412652528 )x^{43} + (-576629583258335666756522647836a^{2} - 106043134055787381263690825880a + 260850520322254825417512940504 )x^{42} + (-571452847210323647368831041784a^{2} - 119162326322630558488100464312a - 82525784330499877925217437552 )x^{41} + (-101839006334661831456623892336a^{2} + 309647773914352264360626710532a - 522337966427670717454903056896 )x^{40} + (99061196917026613862001010496a^{2} - 61899991026972817065094194224a + 556097875460116123183892935152 )x^{39} + (-507622891343107235261995891536a^{2} - 180228716613794309236851747272a + 74599477900122403857414478392 )x^{38} + (78945465496156062518287255376a^{2} + 322569479900817268050411163680a - 504364795041093469314069485488 )x^{37} + (-580527773878818325680707472824a^{2} - 21533421803044308071024356692a - 450543271360175629770639218896 )x^{36} + (-19089348410902846468762408816a^{2} + 280425822089360165448806799264a - 606867982198950757753916127296 )x^{35} + (276475144528844403422341188696a^{2} + 368097562348531780398097887860a + 271216262929574603241717190036 )x^{34} + (-434514009744336321336687401104a^{2} + 330331742029318086438608676864a - 129583765498725653495345174960 )x^{33} + (-187677979709852437241500401794a^{2} - 316830407821567039034409294458a + 249334657314617276254213188532 )x^{32} + (-91605059195550240432167753232a^{2} - 213119131860428142543728820032a - 515802790314807991646565835856 )x^{31} + (302269457673761212667919621128a^{2} - 273438184485472899490102458888a - 191457567004765603433278569792 )x^{30} + (523940313510380444288308932232a^{2} - 404731166008075803062535380448a + 496658281668647780149013388592 )x^{29} + (-23292028363797576965307647204a^{2} + 344249245534886684005745930568a - 188044625147971034696517815808 )x^{28} + (-69923472800227291457126113856a^{2} - 326950520630275719971412483008a - 510292749775552466253721409760 )x^{27} + (235159568530663394128706736808a^{2} + 387662018237995459618699124968a - 261663006012015394820419912880 )x^{26} + (309248600631049283392541910640a^{2} + 178984474445056855717405664912a + 325320716009436078602437154624 )x^{25} + (347286498971214396830989632444a^{2} + 268033255562399214713663186240a - 479898702304319315522343041788 )x^{24} + (-524541438197017810161425610720a^{2} + 292967801440986875533892796144a + 196006779162311180508084171840 )x^{23} + (-521773532721378317881716582312a^{2} + 287313126471154136439662532944a + 312408529867478671654579096096 )x^{22} + (295522608542122730917668412752a^{2} - 173142844844111912182502208304a + 228933488719767632232166913360 )x^{21} + (267035707688842401635537611496a^{2} - 508100858746777403598699535168a - 507953584492089266579435917392 )x^{20} + (179255538111702892256502447328a^{2} - 71215996562995038060051648608a - 214194857085218396076246830976 )x^{19} + (-160546442843850714768763107008a^{2} - 289598989317082694964345154448a + 366274738401643930328988991096 )x^{18} + (34634034120426484722677979984a^{2} - 106013573834446070549549485056a - 4693786347047730704818119632 )x^{17} + (8904739126419910259382097652a^{2} + 214342368440205204861494840720a + 547488792844827482682204199068 )x^{16} + (-175428424181993467998853662656a^{2} + 76453836246430694235324224512a + 148278531910066518574228228640 )x^{15} + (242040359526671249677902850040a^{2} - 414009731126129974154702439144a - 410342695908798645907547241048 )x^{14} + (-81666829442922949456680388096a^{2} + 295914766929473394681644989648a + 525104588186217254921694609056 )x^{13} + (387119059530187575784311865752a^{2} - 314820631438016417331463675888a + 246581155346683302060329254824 )x^{12} + (-29906597921147959072828880000a^{2} + 417481840450825994741768810080a + 404769764267662578510196722720 )x^{11} + (-476811615829200174790795497776a^{2} - 30278440683769013365020575320a - 548426148360750860482488657320 )x^{10} + (-128371137006980513130702617728a^{2} - 115803516828428821308326437536a - 90956085748507962527624261056 )x^{9} + (-160230947912541680797111533316a^{2} + 349503568783348923439415272180a + 420725603835367515561798033024 )x^{8} + (-130002396090031834488640576992a^{2} - 526421904947332382173512088800a - 186157197957041042748671874048 )x^{7} + (47092412850148119156654276768a^{2} + 309771608016285693648813572912a + 234169274574321845671482701008 )x^{6} + (-60692743531685424430463714240a^{2} + 531531530181990070421486712032a - 351964810498521849762322981888 )x^{5} + (383875684809692104488727730216a^{2} + 594659428317360108834752878688a - 13315584057509475729867627824 )x^{4} + (86470208929699450509958337408a^{2} - 219630096990581294134420803968a - 57796031884416667792063238592 )x^{3} + (-535947188322575395598615939472a^{2} - 307181837657886477480655004944a - 625672687251912461962231979248 )x^{2} + (466380376233444927039165629120a^{2} - 244627749508045309573661221184a - 526098817744712447869490455584 )x - 532345415766195305632537913240a^{2} - 147507824648920948813606249168a + 247981766284508576378782967956 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary