← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-388484882310808012014376241448a^{2} - 488736382021524817961069760024a + 84703038598701919407776532176 )x^{47} + (427972637533874405786191041040a^{2} + 167292800270948453137897967328a + 516045986749596434225154682832 )x^{46} + (62508841653284189951575880728a^{2} + 417504240751472575604992162560a + 606166171589438397204166963648 )x^{45} + (-108163600494500747120553838816a^{2} + 497576312020636682481430725824a - 337163147043304521201762328376 )x^{44} + (-357905133554889110551166617472a^{2} + 13448619417826884251028417232a - 615937479203248035737685430696 )x^{43} + (-587622770667375291802139947928a^{2} + 226006687744866179019411278352a + 167903226556185904911764037768 )x^{42} + (450328461324452549521823851848a^{2} - 485111086774672171782840397904a + 82480297380841256063431733872 )x^{41} + (518101403329428472360670259932a^{2} + 592363180056291867846550139464a + 278482883099696496820018266144 )x^{40} + (-131363658225143702254998677312a^{2} + 501241883105337354350592528624a + 321529261190887734056574105360 )x^{39} + (251896136747068479595341471352a^{2} - 135766648155594701532433819264a + 627080172663337455503231258268 )x^{38} + (371754161789681149632506445784a^{2} - 207070964159456713249906534072a + 554821670953497851361471421968 )x^{37} + (384223555715827901546519033044a^{2} + 438606356641854781991686011496a - 482293077978670055989413004168 )x^{36} + (-518325049318612826163992397408a^{2} - 543028931087909757038892901040a + 258007842661748412149972275408 )x^{35} + (-544143898527133855747681796984a^{2} + 608293305034795237347941031460a + 507982260763604480342809645004 )x^{34} + (132117078296620158974781390416a^{2} + 310152347984801132829492686064a + 177240995048809795676904487136 )x^{33} + (44879777738640462153464792540a^{2} - 176848003793922963743987763634a - 337783902166855800744249449358 )x^{32} + (65521144007727808890484842816a^{2} + 59069062062142656498647269952a - 366610234652930678595467094720 )x^{31} + (-292567369930665149486767243232a^{2} - 531434044463815188783038583416a + 336508016052250998054411410544 )x^{30} + (-124187126110182722150162921328a^{2} - 440932987556834007494137201992a + 503683514518124061311015877608 )x^{29} + (28788826460125786932917375180a^{2} - 541619493926327001237663797904a + 64080916006584819232344160644 )x^{28} + (-479458324389017965914826574160a^{2} - 103733425739375615868354914080a + 162375656067599922762214017888 )x^{27} + (77951592645869407194666533896a^{2} + 425206599114919441315855871896a - 278063131799882612258101512888 )x^{26} + (-283018190493924276452360941464a^{2} + 409839149158819765367087570128a + 96993663333790468187890976152 )x^{25} + (-333341360325215912886502428776a^{2} + 20895608753172039491073577564a - 148346664098365836041562100024 )x^{24} + (30094577384888841733514382208a^{2} - 629995916686019894792350009120a + 230897877389850363845660099520 )x^{23} + (100694229013204688241195947200a^{2} - 35602182989344283363231618960a + 269652861782839097274914217312 )x^{22} + (465672196526915690692888289520a^{2} + 288238905832427114128020545008a - 632003635259932132487120503088 )x^{21} + (608314440559595939110094882768a^{2} - 533665705615027327656382933688a + 11195384860067318885172740648 )x^{20} + (87242587351021374399440123824a^{2} + 352739374026503216712143855712a + 109019637800092723863958460128 )x^{19} + (-279077282028217735693026362600a^{2} - 371256258150215833779353223496a - 110269004975861945109946978584 )x^{18} + (20900150948531627315436260816a^{2} + 230882760187361843013992601328a - 512605855787907264294559996544 )x^{17} + (238840421198823087488495737300a^{2} - 262355178624863865953366228756a + 499053240165053130772187782096 )x^{16} + (-368351154218927208229961476768a^{2} + 49147419350041838843884597152a - 428526404149462158267427410976 )x^{15} + (625467849841600350559934958704a^{2} + 322072410603691441573378927216a - 382819158138710444121728533952 )x^{14} + (-499772602730626014643761363632a^{2} - 361003711194565979305029832928a - 34593543717128796003636046960 )x^{13} + (510121166353120274866865012232a^{2} + 180780591406869478682966635568a + 531617781804061103112674093536 )x^{12} + (-393242364345874480409563151808a^{2} + 236096284005355557428390506624a + 11517649844784374709374337920 )x^{11} + (150158765127614645738640791512a^{2} + 548688973427116041930375473976a + 92663916974254766107578589672 )x^{10} + (184261426535677301115305886336a^{2} + 198582455016265366599490444112a + 516633778996449805007999416576 )x^{9} + (583543970655830752454557957548a^{2} - 557628033062215879344576149964a + 344058649459169216756553578956 )x^{8} + (163419778185705052829482103808a^{2} + 26816973307365859251024176576a - 96477960613326223545907832128 )x^{7} + (333625212266015698328687490176a^{2} - 105397130087392105660623056656a - 183490817804893421824572912592 )x^{6} + (531861266339277894115206428832a^{2} - 612611463086769220286150142400a - 316498634535352857841404838336 )x^{5} + (-384671646940000173402373297312a^{2} - 35170318996738349298412704456a - 482448356283773405806461161456 )x^{4} + (-306629364340634578517538340224a^{2} + 386956055661843504114047715904a + 162290125180347187301139225024 )x^{3} + (-249421815935745566890740181664a^{2} - 289774504769176382334423775232a + 630707041444655689644643647184 )x^{2} + (34926448154521811172055132640a^{2} + 470980541976009820277958487664a + 70235775800834394801018934272 )x - 580056247297984069299785386476a^{2} - 450147826071098868544722187300a - 339836153708756781831364492824 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary