← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-506635992659420968920691826432a^{2} + 406267158227715519905195582672a + 578313177025648215551630826960 )x^{47} + (-475928846361357827178507550980a^{2} - 139438562934305092564906814688a + 537206062307867702372633055112 )x^{46} + (-464541835441307149458285595248a^{2} - 575950334806473119517154850912a + 134776677119995689568003051928 )x^{45} + (-10474342695046814050094694084a^{2} + 577241793465389457433173252496a - 472697365471447511424138132600 )x^{44} + (556085912689483443595626496368a^{2} - 607508784676349645264323848224a + 204011795750690474672191319184 )x^{43} + (-23410893445679112228353031972a^{2} - 383110976106945044756572475800a + 557359954911527561467745403664 )x^{42} + (-25851819854979285126603671136a^{2} + 240364964261275355280324787808a + 77237181333495739812490910552 )x^{41} + (239245444384335308462050616972a^{2} + 476792747036333208035234907844a - 134821771048376933706053165396 )x^{40} + (-568321684877757167591490854432a^{2} + 452399708491647191600348783920a - 188703755354964341362222009488 )x^{39} + (628438781699339161882137230312a^{2} - 147950994378592618972631222976a + 430749482942583923565717855832 )x^{38} + (46993007322812067754853367648a^{2} + 80864728949881491903037323584a - 456365113895213978543362217472 )x^{37} + (-376236815589636997025021041712a^{2} - 188461702181292309027732761460a - 156787483152027293079468527328 )x^{36} + (512452589235192062883058056064a^{2} + 380958615891576290310692083536a - 520261686449477012127044073200 )x^{35} + (-76914839404497870347120388616a^{2} + 194346099765288146088914007900a + 146306990347309628069918086220 )x^{34} + (-438492320710878059382986370384a^{2} + 490396561691591606415829573680a - 274218248662400453520479041904 )x^{33} + (155065086833264546824366839878a^{2} - 91156745457429701278301404686a + 562714255254869486461808472808 )x^{32} + (-492956738494991055857813373968a^{2} + 176595830358316280014464028928a - 551767382473914238360647935632 )x^{31} + (-347297152928490095132187384888a^{2} + 280653634625856886680078817352a - 415818327976917953484917123456 )x^{30} + (35412178915545696985448148776a^{2} + 513996481438031941156044656128a + 454451202739221031545365813744 )x^{29} + (-197247001937246022668593336964a^{2} + 628960921860640831296609142424a + 379936285068322818288113091000 )x^{28} + (384898593344960304983679303104a^{2} + 225023648885162405837821197824a + 102151319116685130095704898208 )x^{27} + (-248570063148484140719033935704a^{2} - 369432350235151448056994591168a + 93785870137979891392597604064 )x^{26} + (-210277755466061691600541159264a^{2} - 594657342546130685167961265184a - 5396073272926716897219955040 )x^{25} + (559757715590950569030855297636a^{2} + 629570431828923048470692100952a - 18976531274342671293681982988 )x^{24} + (-610216500976128763871889414944a^{2} + 67780972510863226451951361904a - 180555037384469971066860736768 )x^{23} + (-491921367811345162270158017704a^{2} - 580405854395554023671413306144a + 243200792891085994339598230368 )x^{22} + (169094914171548055330251041744a^{2} - 330138836908362353363649277776a + 535075937727814311269149667696 )x^{21} + (-157406317236873323591877261928a^{2} + 7618901728001464121671223640a - 461420996791395915075443292016 )x^{20} + (177667208222545384024718979072a^{2} + 71923750160147708355874021344a + 2100221331269390837165429696 )x^{19} + (381816153026067766966304553632a^{2} + 274953286788330779716304620064a + 445849087359413339425948839368 )x^{18} + (402028628051854426065229641744a^{2} + 57432749799788856477750298368a - 591249349707692743843328281776 )x^{17} + (252108449113734383128484956124a^{2} + 537350301652034113654572567488a - 472900213359028441750064166060 )x^{16} + (-27500630599588392918734104896a^{2} + 556174380908976934354841197376a - 469729422703808417327290776288 )x^{15} + (-572773369923381344435731974248a^{2} - 190509005636631247464823462696a + 463771182962000007117217245992 )x^{14} + (43875394060652406220492444608a^{2} + 28272394395722266446115192464a + 620483817312475062602110732672 )x^{13} + (218103318161335936864899181240a^{2} - 622572750739770044198999920496a + 281343663600813446120022302888 )x^{12} + (266609332581377898733111459072a^{2} - 135925856647935967557100569440a + 393122177461038873146028692320 )x^{11} + (-249809850159603313049437587264a^{2} + 426179506400537908105775158456a + 401448428549446791980373137480 )x^{10} + (267048890490038042483790368768a^{2} - 494100039111240746059475309440a + 318640644921984895765630284832 )x^{9} + (-467106401788093887617380515428a^{2} - 375778425884006988095298419388a - 520061236763999648781757141952 )x^{8} + (-232102028572358953993300093728a^{2} - 335296892437741603191251029408a + 521435938653276895364739686720 )x^{7} + (134649468714774511940163807168a^{2} + 539111449340066521311727556400a + 558489474381970417374102228912 )x^{6} + (-452485839294977284336607858752a^{2} + 606344566929239859189637253312a - 303924426697182519807700673344 )x^{5} + (119569993586504489444146127720a^{2} - 360413011700105988308786379376a + 351243849998448531661046273056 )x^{4} + (-481181477675183800697943388608a^{2} - 414756082528502211490114683392a + 285288905424867890975901096320 )x^{3} + (75382589930523310767696196720a^{2} + 280299412272420844234457999568a - 341980108819775824885792012144 )x^{2} + (-242076480292554730099413904512a^{2} + 502284364368201426308718724544a - 337255702128987868973285109152 )x + 430575689404106338918766777240a^{2} - 397866589629804590562402924896a + 167883771138119703002568285572 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary