← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-388484882310808012014376241448a^{2} - 488736382021524817961069760024a + 84703038598701919407776532176 )x^{47} + (448103454295325684055129823896a^{2} + 323697348151476480599504783688a + 338428609285632647506505254776 )x^{46} + (261777785106525162529114812440a^{2} + 478066508134090928074416613616a + 230798541325449136878504527984 )x^{45} + (235269686335045384714669813848a^{2} + 390642416964910153088606312688a - 456409654023616488453883335928 )x^{44} + (469864086858130006368178984880a^{2} - 101813459068826173263140738784a + 28826518474935129184019188072 )x^{43} + (-511651947881998375627389441912a^{2} - 359473673367286820559658917096a + 307608225220270210604022543504 )x^{42} + (-44904635958123101836101579920a^{2} + 489190943983199715865106856120a - 198204366783961304242782313848 )x^{41} + (445334088648598444171971903288a^{2} + 507927831660031810938238290616a + 255329884818725003359539692056 )x^{40} + (493222870499442363982822997088a^{2} - 517655755585664050446909248272a - 246045397321937271354665373328 )x^{39} + (593523037410856187821618362488a^{2} + 556145601383095312565786019008a - 11669365475555954032405690116 )x^{38} + (-368724126120730345084187911784a^{2} - 428605382095796554903592864952a - 12287030184997752655356540816 )x^{37} + (-250671262712906481565676123612a^{2} + 294573268691377550148678114880a - 295173305144521622524153461144 )x^{36} + (-519387315198373077697492260000a^{2} + 70707614691919663955603802256a + 202460602620387791726261937264 )x^{35} + (-240193310006072636354892380784a^{2} - 329391128718068917427137767420a - 403375326019465478658327551028 )x^{34} + (-332849819916447063039964456736a^{2} - 239817919668021209933010090880a + 347476917879892821691071424112 )x^{33} + (49575338518162186111317099928a^{2} - 587307512451593593382736621842a + 148626791800915514797829522570 )x^{32} + (-424328249758493046599869831360a^{2} + 255981881613600270260216853216a + 31266423573699596619483770816 )x^{31} + (242440550646820945361553206592a^{2} - 475232650982592228734446127496a + 84977809100729858685806155632 )x^{30} + (260660258178926248404261816560a^{2} + 109922043984507194756594348792a - 147571043421545388335364274264 )x^{29} + (63202965051048572877105555900a^{2} + 210200033649406490237992756696a - 274615187141727101141388394716 )x^{28} + (190964286756039919705718695088a^{2} + 367739337452876077149752199552a + 139959091270487324302841817248 )x^{27} + (-440982860315045472682137514520a^{2} - 427229125603316854140958808936a + 448533719634485424934626755624 )x^{26} + (-223140677719511932647701548856a^{2} + 64435363644555949198637443792a + 458957634295413040811895694072 )x^{25} + (-415387229661783265964003515840a^{2} + 385688542407405129904750047980a - 99976917664847886298040826608 )x^{24} + (121278488107687499548216454752a^{2} - 184681250313363435114995407808a + 288666470178322763750652938720 )x^{23} + (582190300576432447649286421888a^{2} - 338753808763623018702983812048a - 242318202307622554065345108608 )x^{22} + (-428639152206133754653321299568a^{2} - 172203309216053428458900948976a + 550405665091599486581153957456 )x^{21} + (312941868595568741358321321632a^{2} - 488497080963298813950178119712a + 105909452065339149271946730136 )x^{20} + (24007432410412652381095373424a^{2} - 345054495951442309650019601472a + 630119281319773471114259927744 )x^{19} + (201481352870829196243021809288a^{2} + 610166603312517493711357270856a - 494051758451811441450706463944 )x^{18} + (426896515289383171283929485424a^{2} - 13107864846180086199442287376a + 385320165175521511844742345152 )x^{17} + (-343820914183326305880105567028a^{2} - 608719530957118064083776664140a + 162671948924849227121262543152 )x^{16} + (58586639766848262039418302688a^{2} - 618575237607880761303672729824a + 71124120189111452323942678176 )x^{15} + (-411538268080132631923352201136a^{2} + 7967119629280769844160952720a + 558294738620467409757437811616 )x^{14} + (-214078581199543587162471250960a^{2} + 309164512199528170969354686240a - 320164990501032288967516663472 )x^{13} + (541760416752657593951572845272a^{2} + 281665677945516797252825263264a + 326012089549774381011460198448 )x^{12} + (-236286118675167515115998842016a^{2} + 390542497005425977215288901024a - 35184074495902472104963162368 )x^{11} + (310989525618357638505292820152a^{2} + 514586477614217212140104571768a - 318229117033433732263819867704 )x^{10} + (-620912605786556220725735801472a^{2} + 562461534833726770090001978032a - 567753543429494288804911763008 )x^{9} + (213210764818627272045347034556a^{2} + 433082888952072401692184263428a - 317472033321656742978070657108 )x^{8} + (192065093306304598896681021056a^{2} + 84053432988369070318714545408a - 218329082477368934594925752064 )x^{7} + (314559766521150384181579064000a^{2} + 89130442707852999098486544624a - 551315629162767164442196736688 )x^{6} + (-444250883667147209551371370112a^{2} + 469443772263909495530047982048a - 185726802104410885593560413568 )x^{5} + (525809773025736548179143696832a^{2} - 66729518318859705392539227992a - 332830055085503666008511715216 )x^{4} + (-358289166332286311850294725888a^{2} + 560931150864742461408812623616a - 195248477299424138928472490880 )x^{3} + (-498306229953413097172480799312a^{2} - 33444510496116597854047890752a + 477517066765937565477513361440 )x^{2} + (-606878460551849681675781098976a^{2} - 491888831975241353466747924432a + 43395605966158935164929875936 )x + 303884431778553815764043884804a^{2} + 618899173623797388824093268636a + 4285171079219472174696526280 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary