← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-506635992659420968920691826432a^{2} + 406267158227715519905195582672a + 578313177025648215551630826960 )x^{47} + (17187399985345137972342150212a^{2} - 145467200434902710977646397272a + 221237173500601866477749345040 )x^{46} + (304076360500120007686366048304a^{2} + 263106788982109168588700142784a + 577491628993654559888139234696 )x^{45} + (-445859485756761251562410426068a^{2} - 185143491012001102278021332192a + 581349020749242507077418962200 )x^{44} + (-607115619689028591398752593776a^{2} - 495638724402798996737684219296a - 297591862159340115887451874400 )x^{43} + (-351057840692854844817412151804a^{2} - 444802781261910201607583115904a - 309698067284464171274541831872 )x^{42} + (403586347885026618705200435360a^{2} + 205850607012391649447778177688a + 549295128860015588609694772608 )x^{41} + (-213824450627991815013762549444a^{2} + 251589401763500062582419268136a + 459954099765863379653179478020 )x^{40} + (199576134732473618337886151680a^{2} + 209456827614809832470045190192a - 1008640116292915446167935280 )x^{39} + (-115142683890681720174680817064a^{2} + 323725131286888087209413121328a + 280128906960214656091057407744 )x^{38} + (328171593742929544502108180368a^{2} + 213440765445633876776563283168a - 20961964596764864909994449456 )x^{37} + (-582106543828169329283218757536a^{2} + 593896099205680548345449015708a - 4607576298992825515815871752 )x^{36} + (-182385517827444635266543624480a^{2} - 345285924572975860663793999984a + 117886457095502965425871364320 )x^{35} + (180813854457929871373697932320a^{2} - 28912971070256286827077321316a + 242833120808077015306918351452 )x^{34} + (344924583433976220289134392384a^{2} - 568435440683926675637661138480a - 532164850020007110993130498464 )x^{33} + (204524193642827741423988103578a^{2} - 541288307323188164534478809414a + 612537134524888694132610699972 )x^{32} + (293501278479751340807704255792a^{2} + 621201688715639824312650614208a - 423489914845205272510692229904 )x^{31} + (234547685022795237440760681816a^{2} - 296195839854018777205828525432a + 332696385548597444526667209680 )x^{30} + (420857973706208260276551765480a^{2} - 349543566740507210812321710816a - 472822801938184407520422014256 )x^{29} + (508132817918832181323447580292a^{2} + 89552843621893433920492944296a - 46401791329547223513084953104 )x^{28} + (-50284061879449340173425047072a^{2} + 48854143792292944662674196256a - 548452169804618412335574188896 )x^{27} + (-261453982997856747115716277536a^{2} + 288419406176470964815172002240a - 378555575453749184149092527032 )x^{26} + (288633652602589572129203916880a^{2} - 588592132865365092363826091584a + 362290603193828442338800493216 )x^{25} + (-155730450295299685006180633196a^{2} - 419811105437369712253023580192a + 182817034632429227788961297612 )x^{24} + (-443664154177859111178235876448a^{2} + 472743814750546233993710790512a - 308390994844065808311097686976 )x^{23} + (-580101928984972785870068749016a^{2} - 346585263359104988668665635120a + 331722554028569769538066955568 )x^{22} + (-376876207065565466674246121008a^{2} + 388920349007973255776890829744a - 403539618080769459774983640240 )x^{21} + (208986245093483201996472089416a^{2} - 213937645254348493257311343632a - 77337971858931757648685610504 )x^{20} + (597984397918565626958496923712a^{2} + 585930773278723849800276981664a - 247789336744395994812940381504 )x^{19} + (338208599816916349393440965408a^{2} + 31040034080346168457480268416a + 329165295167324874121130449496 )x^{18} + (-291788444938527912428628086384a^{2} - 280209673779630293016441663872a + 508717803632376188626380424656 )x^{17} + (203576870697009310799445850284a^{2} + 358376375629907957528303228024a + 108123651926631154696898411876 )x^{16} + (587534299045579074074324843264a^{2} + 295960759640800862156458400384a + 94291686113062583516800963872 )x^{15} + (92745246915894359943804183512a^{2} + 499776000490177656439885818520a - 54016817070530200885813134680 )x^{14} + (56178353111808032413343382272a^{2} - 564741382690635152416817366384a + 17772942890466904779610796448 )x^{13} + (-333694789332414715505320911784a^{2} + 401799817084734121164177334464a - 31735744143115314463957536280 )x^{12} + (613961320307378859939615057920a^{2} - 321393342614056587713440355360a + 512025729901958948201148779680 )x^{11} + (356462342320720614124404816512a^{2} - 112460722968744412457148943480a - 336401193101751500467346736104 )x^{10} + (152896911452773168989660487104a^{2} - 119827884482703246814991351200a - 496190008832906719583602249056 )x^{9} + (-237547771764143129921277046548a^{2} - 70845243961006645347052269020a + 475265459079086064489985109088 )x^{8} + (-427351561052563798309450409760a^{2} + 405239073075329419975930067232a + 513252511326042993555616206528 )x^{7} + (-563338568616389817715687351456a^{2} + 35314040282887236687084219920a + 98626619504083350852237259280 )x^{6} + (514303290257306751082345302752a^{2} - 2077775338761925700910836448a - 253894605231466853595038706560 )x^{5} + (-321273006859766883169768951480a^{2} + 286882817771947403189471717728a + 582032167596434365031352298928 )x^{4} + (-516572053989850175168651424256a^{2} - 505622955371665196500800102464a - 140927219941077962322907758720 )x^{3} + (-563062870483246678351383131632a^{2} + 300753100633059953468315014384a + 545067219158756926297629007760 )x^{2} + (-326465228031877740359078440064a^{2} - 407538714559166580824411529152a + 414042006584955050237888483552 )x + 113657945873478549532312065672a^{2} + 623001595414355778849555947552a - 187978719757890511408476576236 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary