← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.283314_538728_813786.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((114240710908220428885798481003a^{2} + 64964119468779995171761684442a + 239227593453751798473050465926)\mu_3 - 143105336688018530182405998536a^{2} + 6426703089930709089223843838a - 92267593981568774938804183167)b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + ((a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3))c + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 3))c + (2a\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((-a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 2))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (-3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((3a^{2}b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b - 2a\cdot \mu_3 - 1)c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b)\cdot c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + (2\mu_3 + 2a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (2a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-388484882310808012014376241448a^{2} - 488736382021524817961069760024a + 84703038598701919407776532176 )x^{47} + (-173905984221793338002985040288a^{2} - 345036239312311133886255761232a + 345761110393698084136178433144 )x^{46} + (300538051223544982893969253096a^{2} + 26464237202053114666090070704a + 446989238425968974218942229968 )x^{45} + (325435917655648964136093481312a^{2} + 236153647185593575253047265008a - 513602475021576789665280861320 )x^{44} + (295304979922508643314248240992a^{2} + 400945431874245420604183756240a + 430929632906152633424451011784 )x^{43} + (444134182219483382420935703544a^{2} - 590699424887240394864096156848a - 44560106826472693712729763120 )x^{42} + (-251797153361937520612704475344a^{2} + 263174135867276133563534333488a - 364310059374184762406759698032 )x^{41} + (203818576474517506132741956156a^{2} - 112161037419570485087529853956a + 475064587647848171834954305728 )x^{40} + (-464469177061116808807493456832a^{2} + 296505888586061678021587656656a - 565723763894941537874951092976 )x^{39} + (-462084823548561320679599507528a^{2} - 520628439153119545923533010896a + 553325033825071727344645824220 )x^{38} + (-223278947921261364288718652920a^{2} - 196762592091601293199503122744a - 220329114505676105694351348400 )x^{37} + (-209056965097944617945490470340a^{2} + 566317158943258142365221828568a - 345318730870953140110794154328 )x^{36} + (-367491036142735069008897995968a^{2} - 459247386991971873480575452720a + 254792489345987130134998388176 )x^{35} + (-117703117055982682761136087224a^{2} - 225749450692071102750281664436a + 474373938880073163494956662292 )x^{34} + (240755842295919054749065178624a^{2} - 87789582042013099450719058848a - 8638670030508729631882690800 )x^{33} + (-144131634375455248231256465332a^{2} + 333874860937004713920569421266a - 279049758693704926631804547882 )x^{32} + (-513457571393320979040302542752a^{2} - 341004791857329472634459089856a - 45312096778771808406619697632 )x^{31} + (-242609340400155731910199738608a^{2} + 585447936947288046577326300472a - 392855245634684963869851193280 )x^{30} + (29228567225100701563709860688a^{2} - 325285864569290333044551783720a + 158035795215800095165989655816 )x^{29} + (-324637799434568808708455432956a^{2} + 296961680451037953262591901816a + 56202482542746801188937246188 )x^{28} + (360165601615363017560343770992a^{2} + 453608249281085561114073736608a + 252324760781442520742245038048 )x^{27} + (493834075590790337248155933928a^{2} - 319587970490395624868289725096a + 398454065307044518862956629816 )x^{26} + (-249725734214776793494273108600a^{2} + 140846605400309098053567363856a - 598901630874080967769363799272 )x^{25} + (99889915236563677573824465128a^{2} - 36091921746453125548919456844a + 10192501817313119579066283416 )x^{24} + (471699925717027034389320516320a^{2} - 482805677676520712572196267488a + 612049937676043657465914221088 )x^{23} + (-93526979149980518154773966496a^{2} - 632540255969870122275519831872a - 403184842889734318584473233024 )x^{22} + (309946781591002343371273470192a^{2} + 513458385550744531947675822832a - 500100027776820803054201751280 )x^{21} + (452016552116354188491397449856a^{2} + 405844087469935930942759399544a + 428545517584270782601245270080 )x^{20} + (24224895136512254917679908208a^{2} + 355464986382842139154854049440a + 591737245063114487726576155616 )x^{19} + (199293505600883081935926162888a^{2} - 568853695766755262911656831176a - 314426988786530019354959595800 )x^{18} + (-141475845099959352263983868656a^{2} - 211450917354039794808870700304a + 252834317935326610065198380544 )x^{17} + (-168860975475884953326821506636a^{2} + 73708053754361535226064881764a + 292907581468878535638400142024 )x^{16} + (-162320247100717364578030934304a^{2} - 24770969177823451693349031776a + 23979888102540768746110036640 )x^{15} + (85318625128644585306403223120a^{2} - 126252561686192632880437934320a - 33559929252098779897543990432 )x^{14} + (573317418354798696313909188112a^{2} + 72684483304170931460754822976a - 602442499744167501462157122800 )x^{13} + (337368863267601353833139994536a^{2} - 520872549311338595787087718192a - 137912766197656783570199853728 )x^{12} + (320206854813737295649974416768a^{2} + 122493533735754051585170971168a - 498442688965929973929640661792 )x^{11} + (-196208884869835447018159949160a^{2} - 71540427128386608525044454888a + 181612333550945424277455581768 )x^{10} + (-599067211141031058329486823776a^{2} + 31573494090713270895352755216a - 100198996778271867296876770560 )x^{9} + (-617023244435040012405821535588a^{2} - 39543034561859769245387957340a + 438813768724078064068613612140 )x^{8} + (-115128630861470300451884677504a^{2} + 162652657836374795826325380416a - 443613255450808347929343156736 )x^{7} + (238741772901259155350531092320a^{2} + 287169823085452285913861402768a + 565988900172916615252796450704 )x^{6} + (306893326117564537856414200064a^{2} + 348026247620689665049579959968a + 535960352826121538846122662944 )x^{5} + (75487003351185732892855096672a^{2} - 311536980215912168037602889496a + 323576015948905708433700965376 )x^{4} + (-479420383861219498744653020928a^{2} - 493397997880901535488768880960a - 120145211553854452410527452672 )x^{3} + (62551732424784585767155432352a^{2} - 540249914526410246645015177680a - 206090137856788981346439972672 )x^{2} + (403156854105865392514751389600a^{2} - 543342376330163812095258254192a - 156801910992593419051723706944 )x - 133032256732727371930263657500a^{2} + 592447885545816228210218703948a + 240886713381576366688320871416 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary