← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-81862791018194762456939671248a^{2} - 443742213237136283402094986976a - 341741141654334138731879609392 )x^{47} + (-508498758641124482647304353300a^{2} + 120111166810216125162042152704a + 548279038329053244077826222768 )x^{46} + (-120540728484578672411621332264a^{2} + 503097536801820907053446989288a + 174877081975392662688463479528 )x^{45} + (13004900944759907352758848444a^{2} + 456352718587901464338084075736a - 378198760879165737991195799176 )x^{44} + (177557203796182922335286486800a^{2} + 335299729241757645261961613344a + 626973173053416498688796032384 )x^{43} + (266508448084458288666194904444a^{2} + 493326187394809374883498075336a + 631861181485667974795581532808 )x^{42} + (163275727836788877565442099080a^{2} - 384671589929675817758003283400a - 319332689633918701745248135504 )x^{41} + (206390844697784847355227113648a^{2} + 79684940118151425368223848136a - 314471975291002213731191658128 )x^{40} + (-145149945650275996088036505760a^{2} + 327946731009436680660668721968a - 122453928301793733279867438384 )x^{39} + (63024660973801917360410153728a^{2} + 538513202330190217351674947152a - 241339423382990666810083378576 )x^{38} + (-539825012660304773944485769328a^{2} - 314143925029503318127190850488a + 37342833333174407082484742432 )x^{37} + (146839491794865958870492756672a^{2} + 56489342117710847001331853980a - 204351924266796862733242756344 )x^{36} + (550478991844905316079917345488a^{2} + 546725040820265106866699473184a - 258149197020933507536632734848 )x^{35} + (34905623584587199969039586472a^{2} - 622454738352694898361527005172a - 444031709245486771949840980908 )x^{34} + (526677405028411772428682012640a^{2} + 201474734555895932978637402960a - 498866990257113318417602628992 )x^{33} + (275011613173912404600699020786a^{2} - 569974895961798658245471147810a + 438428190753504461262461106332 )x^{32} + (527172260652004937689787077824a^{2} - 340070423073270725891100061040a + 171114012833660486001798804928 )x^{31} + (-198266218429550380816972617464a^{2} - 539678519704703459884960960792a + 208630087442136445327725529160 )x^{30} + (8825746182824502201513786312a^{2} - 163517356531264647066159142784a + 399025667054237927486662340144 )x^{29} + (-619956386675745634836043331612a^{2} + 602650303565811584853363994560a - 149204080772981717935120563128 )x^{28} + (-541348571645150946282099917984a^{2} + 377581103533570555853760242016a - 48470939425059500919355997088 )x^{27} + (-203679696629248553215041758560a^{2} - 297029140956712821277846979592a + 562343963131839457215844658664 )x^{26} + (-379590958669847561592037389520a^{2} + 394121593577698922954956991328a - 434069343827342513334940482448 )x^{25} + (-387097660490660018956564516268a^{2} + 511857216107255219594505779016a + 436496885166709707905002748156 )x^{24} + (478563000710951270237532293600a^{2} + 567069743101579525797284095184a + 205371881980923565839224073152 )x^{23} + (29148159265284673897352800712a^{2} + 459569213994791697145922974016a + 77245312421358260732766133904 )x^{22} + (-78359876894022282541887188816a^{2} + 177167314906536881138633416848a - 587632182872865840076629802096 )x^{21} + (-14533397168231888067919681544a^{2} - 72835675648311939781731421880a - 547440207341053672303518340392 )x^{20} + (-196303772403213940991703249696a^{2} - 286414314354675594505458733664a - 325271772383828516679820444864 )x^{19} + (-21926374374456578309666301952a^{2} + 478127627104749514546454649248a + 359105731396543892109991303336 )x^{18} + (186589822796256224907181304560a^{2} - 245402501512802307452631592720a + 501545204171256594450773858528 )x^{17} + (614761192081614403233287981828a^{2} - 210780061050120185511213262072a + 149542481794006326397346557532 )x^{16} + (271138934698333323987745952960a^{2} + 519473693860007461901874642976a + 476776576862415856524876405088 )x^{15} + (-395911643147568891774499329640a^{2} - 590823618933872855765492928008a + 526695901311437577500721475688 )x^{14} + (182821430876905772485832513344a^{2} + 226126770529157100000313531232a - 572277580073527865570442945184 )x^{13} + (354259671029587129001860025224a^{2} + 271546880819619743788604586368a + 308830922207041334494966543192 )x^{12} + (-176714174158212144385807611776a^{2} - 101004575779882152498472532576a - 196854021991948047436828389440 )x^{11} + (551389664167963076487368497584a^{2} - 425477240768460796919785221144a + 25466099833988501632585513656 )x^{10} + (100424963612001319723121713568a^{2} - 370912961438778584939603120640a + 126633891592899668115968727616 )x^{9} + (-56546354093001259496974584836a^{2} + 371995715180570422061585606852a + 568263652780786915806924316832 )x^{8} + (471516670087283058699801025600a^{2} + 387535179012067114991072584576a + 180333317012185723574491858272 )x^{7} + (-126265833838513562493982166688a^{2} - 216286934173962924597421944880a + 407204688613420339112684323584 )x^{6} + (362597510868658238015077987136a^{2} - 479178119772927119145093951680a + 148825181859396510818413332480 )x^{5} + (488579435220381082418484927224a^{2} + 341224498556732024967818424976a + 153824852828939680656970387888 )x^{4} + (543509067474286292389947276544a^{2} + 629399404421803932311329522496a - 393487848995376475725596364928 )x^{3} + (-319575003897342637856564705776a^{2} - 510700829774966454372509814928a + 333595128401296965863807415856 )x^{2} + (-430453944191936903222458974560a^{2} + 157772180647361494366314595360a + 314428444861299240989217109632 )x - 352396881612516063593868856568a^{2} - 45072767467174562698246390656a - 149541819603554646750751102876 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary