← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (524191769533429648813370418136a^{2} + 449833463749516080245258918056a + 388637636515031632857082981648 )x^{47} + (-599179960942896397375385769304a^{2} - 73498825122162722025921147960a - 16271457804329546859458226152 )x^{46} + (601107719046497673753289343984a^{2} - 241540683447087535251536691040a - 503288864390872245100508716296 )x^{45} + (282935051631215535463947508784a^{2} - 161582217952483078810422456536a - 1169358425253178586547409560 )x^{44} + (-42505736739943216983149227056a^{2} + 248011319354049679575825713712a - 378953356697866660975176808568 )x^{43} + (-291321393730189040478574575072a^{2} - 405219034655728225053069644032a - 284980500845350655384696676184 )x^{42} + (-113463391923546194108405795968a^{2} + 224751174823601334780191736792a + 154959552974060766396946775768 )x^{41} + (-441774837556667831933221347600a^{2} + 174295945884540021903594578272a - 64582764112816740747519198216 )x^{40} + (-71553204846789741120659534720a^{2} - 196798461754681936607942636176a + 464003395653024370511236355216 )x^{39} + (-424742475513538271948185952952a^{2} - 98842163240463736845373652408a + 157476180638933784962686713612 )x^{38} + (83293652927067558360503489768a^{2} + 45586783904069670799998652360a + 393009776635119813519338404384 )x^{37} + (277561969005415386945130527188a^{2} + 536667960410356000577004002224a + 554525694438518619387487547192 )x^{36} + (-3136090177999574889935443488a^{2} - 363749812057812265081677829520a + 494483698465559241951030142352 )x^{35} + (-392752118458314597005471320440a^{2} + 139549742706642305145849310556a + 28112141768577888104402193596 )x^{34} + (-139385930789628195037800099184a^{2} + 515798905642858478437488081056a - 618054891603640248491303926896 )x^{33} + (490130960884360276277952896468a^{2} - 633729330105753456855700408026a + 528791500591683866960610795566 )x^{32} + (41797761614873268213465758592a^{2} + 241594563947383194878303133408a + 168224203355573529647715350944 )x^{31} + (-283705567599568189448140982008a^{2} - 30523709019201988597052312416a - 110872404534957520564056020792 )x^{30} + (482569757002945433932813223248a^{2} - 192528177871143260364161379768a - 363491871628155324551662167320 )x^{29} + (224333679110279471587662450244a^{2} + 131991282790533358554944487504a + 39463319892793449956652081340 )x^{28} + (-528650563472047781521990706416a^{2} - 111711972083044336941926699136a + 527229471512545364384842998048 )x^{27} + (478899146539916177654345177864a^{2} + 390848921919224527255099778584a + 138681296423307923502783992328 )x^{26} + (-99503928751555622090052196952a^{2} - 213001941814509501259753964384a + 469069817271714730051388597800 )x^{25} + (-514609592105280055283427487208a^{2} - 496661206570317384295903184524a + 266284795467416294031359830944 )x^{24} + (344975914832931249662145824608a^{2} - 109352822147134520013967147040a + 326894508918837384483872150432 )x^{23} + (607557163885465314236528619424a^{2} + 52931204235952964804947722816a + 23231211539811660533017839072 )x^{22} + (519108407800647120124279711056a^{2} - 389354885984589193649585055712a - 258419065283384735851012665040 )x^{21} + (-212518292807090013295446570656a^{2} - 368362797458181130540034336576a - 248834903732468863684529455368 )x^{20} + (-65049032279874365461477748336a^{2} - 5271384099239103843639946688a + 418245487466509123694073536256 )x^{19} + (243891227978151211776576433208a^{2} - 171993029003141426215517693960a - 577572597322753359455925073240 )x^{18} + (-462419334001671232924253917328a^{2} - 445574710245939480934302337168a - 65944292074750221519261702016 )x^{17} + (308079627917176248045522212108a^{2} - 220490012157515017790461731868a - 616586620465937080102210495488 )x^{16} + (22221194957205450030413412576a^{2} + 556632617209475205106732715808a + 395488538615266085465791611552 )x^{15} + (-508335840881212232772750179312a^{2} + 28082348250586081737172666624a - 260491310695243374022851330960 )x^{14} + (-346316543532303580071133312656a^{2} - 356888309840015676185008279104a - 232653462066181736921444597584 )x^{13} + (262972165620333381779274421560a^{2} - 220256303847729184575862172784a - 296981442828617705372063070848 )x^{12} + (-341408477151282383679699347040a^{2} - 76690194183224057775148221792a + 382971440568746040017194601152 )x^{11} + (-123869964898954017733454926776a^{2} + 529131630784570861353086920136a - 42764102249341491755590217032 )x^{10} + (85155635274317793453972471328a^{2} - 132926191802247896057536796624a + 532011458325073926741685457792 )x^{9} + (585698282009530549512234496700a^{2} - 281983658295681395607048713484a - 590193086897935599027605049876 )x^{8} + (-160833768690536592475134156992a^{2} + 352193982719891445435489325824a - 218535481784812269141763458944 )x^{7} + (-538509114015496702991950232672a^{2} + 520036894550209879566328023472a - 244110818242600682955101399040 )x^{6} + (-552780994456689729655821033152a^{2} - 508682324404985772491570156160a + 433949586655773650872407867904 )x^{5} + (-10122826497233327166904535696a^{2} + 42539517356893084940026555672a + 112080262074733032188017950304 )x^{4} + (386200298980106904809733024704a^{2} - 547741409280657647424955082624a + 36119511370272241327039964032 )x^{3} + (-363555763325167401669400382960a^{2} + 228775579557461330551121652320a - 572163698714193982553750807808 )x^{2} + (-331522944135126081515802614432a^{2} - 31399734509778654481026198992a - 528951570834831606854160949696 )x - 325127006769066951380494977180a^{2} - 298044213836349020940710640404a - 44585165769299045904591373880 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary