← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (524191769533429648813370418136a^{2} + 449833463749516080245258918056a + 388637636515031632857082981648 )x^{47} + (469660942336700343219981277656a^{2} + 106961028222166038995883418472a + 75899782796866928355596456224 )x^{46} + (-179564853440984998197387499152a^{2} - 482094080971077581320641056352a - 164651678021998263311873945384 )x^{45} + (625290990204503487144959457328a^{2} + 581885142453229668516609258064a - 370804571753391319436827332120 )x^{44} + (338754873250799743701648991728a^{2} - 478387495369188922680895781168a - 471672646975616161845572005448 )x^{43} + (-623389898412590681523475166792a^{2} + 193272449468179244796071365144a + 192456665073854707780299315040 )x^{42} + (-234539706856172554479207541336a^{2} - 453895407332104703662406990264a - 533408262784932269994330041480 )x^{41} + (-204571864093842565162707023616a^{2} - 380497379767786987609001550684a - 333247277867743005031847706920 )x^{40} + (289848188676207327997337368064a^{2} + 595141050537562814279320141840a - 146768486346569816127835785776 )x^{39} + (566756435971939401426070568536a^{2} - 358184386300146748629744712984a + 322077821358937755274232467340 )x^{38} + (317962846006709403362744053272a^{2} - 424662044331628430118717255640a - 519888137499038163307036604032 )x^{37} + (322903938865020882174359301324a^{2} - 397543236746875804269609909464a - 530299465725705770463640977176 )x^{36} + (582021391605601017551148500544a^{2} - 134545536726647388510784222160a + 245713171177856488779653968656 )x^{35} + (-445524346293473682131050147208a^{2} + 51833520289643942390016984884a + 167648827473558623823363153476 )x^{34} + (-101093815739265133388612255264a^{2} - 557335864322161382302020981680a + 132622124058747861788093425392 )x^{33} + (262569416523217684608080738340a^{2} + 191102094098222830823546316074a - 346610563643627384280691134110 )x^{32} + (457127588499201051153813935840a^{2} - 360418002944445778199101541984a - 277180414565133655269609376064 )x^{31} + (22939393044928002944281178952a^{2} - 552017097066573584389565599616a - 193734420802576532211533281256 )x^{30} + (338126267421861691678062519728a^{2} + 183550469463176793005085460392a - 561775958725542378426630832216 )x^{29} + (210029215972537179003162308268a^{2} - 506872076974716727079204065416a - 276352531057298173347673986764 )x^{28} + (221396882390444329193603689136a^{2} + 631484446259349545642202168416a + 625442894304782096087958568032 )x^{27} + (-212500654778708340708444810792a^{2} - 456492889654937027260155173352a - 253548887373635565950024213672 )x^{26} + (-590113111481240058652779548152a^{2} - 152457941675201218258754684000a + 265796891013311621358356047944 )x^{25} + (-323028019876661009810902855720a^{2} - 363574916586327058982991405860a + 140272583077023133144853677056 )x^{24} + (31336020002274304958393128896a^{2} - 560861814158730867964186340192a + 622217291211014735730918463936 )x^{23} + (-380633108044908462731375672448a^{2} - 345914480551107828042256600368a - 474840109734881052801867471616 )x^{22} + (-584488495473154229566102145008a^{2} + 91184104225538064276940850688a - 311909105867742919429275565296 )x^{21} + (626266837875446276161335829616a^{2} + 334462938754757169435692075360a + 203448301914802200203722819632 )x^{20} + (-357008670261158733718838744368a^{2} - 475994951504665256577662275200a + 505359808240245757951588392320 )x^{19} + (280931754290128825149031577208a^{2} - 458846629355737825539103423912a + 572783267369172180213101023096 )x^{18} + (-227405936853884220730384160528a^{2} - 438236256542010397156495273104a + 291164640375002838909603985024 )x^{17} + (-455853221029566396499031888196a^{2} - 178552719014858867920911370388a + 567062687515567448589108792456 )x^{16} + (112804449673453337098545842656a^{2} - 179984429334394775116009405152a - 611479110906833815709844424096 )x^{15} + (-623543841073084435261665554160a^{2} - 219224074283731936464899071360a + 184095523905885873831042832016 )x^{14} + (127503661706158582769862950000a^{2} + 325191714105053449454682845472a + 480712345041367777894652619696 )x^{13} + (558037514825326350098752846744a^{2} - 566834855521472006043437069248a - 186695478137258026287582208176 )x^{12} + (-187918542787673330553598103776a^{2} + 71220818058132749233464649728a - 592820485295735428975347322976 )x^{11} + (-553484243129067391438096301272a^{2} + 385993335733534650329912927976a - 59324846949240290214793225960 )x^{10} + (-513780138112427240699715196512a^{2} + 381146699689595535352051333552a + 1191857805066437369899272000 )x^{9} + (-238548876077444739835019003348a^{2} + 541715967906559970157332048516a - 505129174634459335452085750612 )x^{8} + (-25385975479458637814853504064a^{2} - 551466430029469685515325106304a - 75711425992236696296942839872 )x^{7} + (348040552580116701333127390688a^{2} + 293258903553753132167198184656a + 346329051993021844494696955552 )x^{6} + (-84218338627338432526876953312a^{2} + 181168042891933379872275157152a - 518121062235569064952656283104 )x^{5} + (172360713360997537768866556304a^{2} - 66644959810098569797094537336a + 577523718871823776678124430032 )x^{4} + (612546539917028971549920651776a^{2} + 18594498380997027718643250176a + 11235554608269883431748199680 )x^{3} + (-475983470327607708326286090128a^{2} + 242343524398536698513180064912a + 62064173988062413888563146288 )x^{2} + (-341400635063962665576300832992a^{2} + 92078299375444246366699142544a + 522733756967316087573793892864 )x + 464453055678531809123938161076a^{2} - 269119195288515594907773724228a + 288797352330143295688873489048 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary