← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-81862791018194762456939671248a^{2} - 443742213237136283402094986976a - 341741141654334138731879609392 )x^{47} + (-196317522949453785548256319444a^{2} + 258569542283896048230218322392a + 30828940351791175602954173568 )x^{46} + (-173919645567850447302491357576a^{2} - 292553123528233611527036622264a - 39347818857285488183088405816 )x^{45} + (11459659276804200904251811940a^{2} - 376447576358283624477321385840a + 158061519869017135086266600880 )x^{44} + (-443858157667537121314134372016a^{2} - 551060403980900588227929490752a - 366086843999809325523428529120 )x^{43} + (441952958858244934573631015340a^{2} - 268269243512268060179100002800a - 152035767764249369426064078888 )x^{42} + (495416016487607015790009764896a^{2} + 234811648695247798961456741368a - 220504234851123382235478319616 )x^{41} + (309647715583065608873584557660a^{2} - 409914909265412389947777482956a + 428309651595669872010258271044 )x^{40} + (-120728173019008081467087265792a^{2} - 129960999696160367364017319824a - 186012339971356416846237369360 )x^{39} + (100324318820687788299119090968a^{2} - 458914439513674455593084669672a - 102065887335480833529059533528 )x^{38} + (-476765601014471146950131146496a^{2} + 387653155526377317487065172200a - 326409896147564964573854980544 )x^{37} + (-264696900752757181635814443352a^{2} - 370176265749642150299032510852a - 360017255314652519334175592584 )x^{36} + (-104730066718163658621556443648a^{2} - 561158529492688666974500091120a - 351362192033827348177951330656 )x^{35} + (77317747027484484023331325968a^{2} + 121081930667780595360849141284a + 509621641499829176741844578588 )x^{34} + (-320134403218959123460518473760a^{2} + 320962256243720769619873091504a - 411071866441365851860267129920 )x^{33} + (-275454009426260382806420237754a^{2} + 435032578171431592509863060250a + 212749479842139781807688098556 )x^{32} + (-485731151176073215872134577216a^{2} - 7797364323677752659342642096a - 155198004353680407877682116480 )x^{31} + (-298604710283286176720543585432a^{2} - 603426695805566413734984632648a + 214414566473400823987791556200 )x^{30} + (-147105399115011856569421959096a^{2} + 633370687369491924795678282496a + 168110951415967875679712887984 )x^{29} + (-181481967340276369213304544964a^{2} - 416647185395794619097537981648a - 406086652836607834042693917864 )x^{28} + (-91016270302095548234726801280a^{2} - 175749229390316170379116411168a - 402814658830447897243534553824 )x^{27} + (-293527970207560366892977129656a^{2} - 159813583784207950802433335664a - 567994110757358996355359761056 )x^{26} + (348495585715624838180960657072a^{2} - 119048981308979682819286295808a + 437336182548963437951251603088 )x^{25} + (81919287622628877428576767324a^{2} - 483915735023905234146948779272a - 301946349502697284772836122652 )x^{24} + (82416520013142747086689614752a^{2} + 35846225109259811642592178960a + 214857179869645303947283370560 )x^{23} + (-132176532094023100455574433640a^{2} + 124299745873540063858086859520a - 268585838182267092455635324608 )x^{22} + (-543213659676796197818666514544a^{2} - 458109327663887434772612352464a - 619830301301557791333639833392 )x^{21} + (105296576783212339479828678072a^{2} + 573325658842904878376080177144a + 30836861733300098128043422960 )x^{20} + (-432934082932386438416976943712a^{2} - 397520239048964412938583297504a + 212038724360143890430627305376 )x^{19} + (-80842791459975500026390425888a^{2} + 351545308867659563283639450960a + 51639850800190449186292102392 )x^{18} + (-348092542768639456989641275120a^{2} - 602810322643640607420638876368a - 133790466357461239719572559744 )x^{17} + (-318281506516237736570825018820a^{2} + 541775428268070414877476339840a - 315053692672284986360745504268 )x^{16} + (584884747619530633080802107648a^{2} - 157951413707189285619304886240a - 452506070358234623182236505568 )x^{15} + (-265645510670576557483007923464a^{2} - 32623004354756110031825476520a - 520451717978468374783808271384 )x^{14} + (-149074663813844163974174980768a^{2} - 492251558266495888270283564480a - 452362217382677009797470828448 )x^{13} + (-112642840391884134972138105016a^{2} + 111615808690571962633888701488a - 4288196092310937047043866424 )x^{12} + (4699975634376885790552849088a^{2} - 461700358520878983550705760736a + 412994819469627060088511047424 )x^{11} + (-520887653055576406260777056736a^{2} - 608893878187758925173154053752a + 584038582680512223022426614488 )x^{10} + (386931939810353620066776206688a^{2} - 279466028460696923035537979776a - 372790926538483555023720429184 )x^{9} + (-157903317523811619599044617364a^{2} - 234776487016004298586040106348a - 484374568229673109599420302240 )x^{8} + (-486107793286954838610028694720a^{2} - 324733903571062882058888707264a - 574906483550942041944871932064 )x^{7} + (-505485515453061866842085152896a^{2} - 61231815479253397389256202128a - 4423172910656041834176828032 )x^{6} + (56076319313453874848984061600a^{2} + 60254287733265835441168021248a - 457551040249531813957640111808 )x^{5} + (-546049870511717080563571517288a^{2} + 193531416570573733684966406096a - 631864072164870586874859648368 )x^{4} + (369828751938750747275081754048a^{2} - 103218915321532950941493228608a + 142157182619453509142128419136 )x^{3} + (507231784772546711490533537680a^{2} + 440839927957615798276762832144a - 134333294655249804671206120720 )x^{2} + (17239951592088881182617036768a^{2} + 117404284490001032781254113728a - 388416275576759098425848119552 )x + 454824027906883231088678981224a^{2} + 488352859727126864181922405936a - 533163260263922385439733570460 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary