← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-81862791018194762456939671248a^{2} - 443742213237136283402094986976a - 341741141654334138731879609392 )x^{47} + (511437644789407053477294871780a^{2} - 415406280946269752026163815608a - 448504016721563885461399692008 )x^{46} + (-16408596363859915167414173576a^{2} + 278577670169007451695747442152a - 318728065281765573304640312856 )x^{45} + (-505733696076196656519945883668a^{2} - 496303333241866796269071307256a + 138874055043211287159150700240 )x^{44} + (-38253930723928186743791336944a^{2} + 345672778116386623656620094192a - 521513100459523528148211418960 )x^{43} + (435158547013796668572876271892a^{2} - 396996778273805584258882057800a + 53326369918579142555026108712 )x^{42} + (-216203392367395319144059935064a^{2} - 54071616033458500684146075936a - 117229751222452992103210949064 )x^{41} + (441834903627033364751944184480a^{2} - 610845661250999704141481095948a - 399551249583302971046463333760 )x^{40} + (-392956471105396658781242541280a^{2} + 213492097833182006298580656112a - 361379284091434323074397824368 )x^{39} + (-234444991652450860984655965184a^{2} - 381570311912801985356986264672a + 330051936753006720398712826632 )x^{38} + (-379199776350714864159330036448a^{2} + 566392786409615152025361566856a + 497188190236286333783165599968 )x^{37} + (90025964481695971655776501848a^{2} + 354986016926339821276875853668a + 361829072299472498913190980208 )x^{36} + (-279678491665364892732693792432a^{2} + 272952591908867957942959656352a - 352773325069343569358217260176 )x^{35} + (-101012775364900725040581523312a^{2} - 445821372435144529539043396788a + 291980261140250040825662217412 )x^{34} + (212318453364893669152773725152a^{2} - 223367919899727801657084794480a + 441659763176875997499126178592 )x^{33} + (-324089401651364446444268613426a^{2} + 110606259561829072308054398606a + 237702914564281033875277123640 )x^{32} + (-302463930478616559022888342144a^{2} + 201545242973737732921047806992a + 376855306011038474633354063040 )x^{31} + (-131225301911277674198689392424a^{2} - 305781943968260616507333175944a - 479757673506966573680796246616 )x^{30} + (614148561019756299869822366664a^{2} + 491613624757018696010277613920a - 19105767427915305855789178224 )x^{29} + (-396116849493594718858079345444a^{2} + 94345421931198287370516543984a - 298732500033871808706724353008 )x^{28} + (161353748134691653377565368608a^{2} - 238024796377896584572492106752a - 75227449805052830774939015264 )x^{27} + (581765445371574801336058838728a^{2} - 425836270153250794615906130152a + 214526243449574717547205234288 )x^{26} + (-223033724624006857876398664432a^{2} - 167453298984634066925426883840a - 489225354958536974961684022352 )x^{25} + (321647751877456497854665806484a^{2} + 50069694737169712555674987312a - 165095591044582587418399182252 )x^{24} + (-552476003337614091417735039584a^{2} - 188685052976921318604854722096a - 312701390855672364154364358400 )x^{23} + (424630286965680249092067344888a^{2} + 280025064027867746861205505520a + 19152973780755066898001666400 )x^{22} + (-553458411804175772185874322448a^{2} + 96541649866036379583202191600a + 431744928254627400729862182000 )x^{21} + (404072682771731855764647834376a^{2} + 230509892491302723115075418208a - 188896377819860429376713305040 )x^{20} + (-258166538318809738463395799520a^{2} + 47512024931201471609061625024a + 332222551870771886441320752000 )x^{19} + (525756860902830998750588170880a^{2} + 622805105580975894382077069200a + 496984028963784859164472878808 )x^{18} + (469824557458035107552818209616a^{2} + 187165399797658758641105406832a - 505518045304384819557235019808 )x^{17} + (388513104454954837729227344580a^{2} - 438024984618675243469332223088a + 516706292486816851111760738636 )x^{16} + (303100642889804616510445760704a^{2} + 383425136848975164670514256160a - 493162925852697131335547769440 )x^{15} + (-390829008991336234827948726696a^{2} - 583995273476173925963898087048a + 433090459423222867488291638952 )x^{14} + (-84978370987554907346182534976a^{2} - 167919710093160006388589286656a - 302545898361438844880753606784 )x^{13} + (-446718787772765655418623170984a^{2} - 540381115811568688304260261472a - 15064682069513489914504952040 )x^{12} + (-33307146387352591539960589568a^{2} + 136016288562325781213107526688a - 345278801136274953795787185344 )x^{11} + (472088928355284924677059955504a^{2} + 103600007448802532769227084888a + 311292905668456651915281691592 )x^{10} + (-215268246465740185206615620128a^{2} - 467559448610839301882485958592a + 462643480468064743745497801600 )x^{9} + (500113283940183588890910277836a^{2} + 207189806603022545537596292548a + 327616303923734264230628238080 )x^{8} + (385851481236785074594289133248a^{2} - 595682673266864162798286570304a - 630594515614851123625760590304 )x^{7} + (246669192198827591080823994208a^{2} + 392987890686591395721828996176a + 480459899840445317690359775424 )x^{6} + (-294768709941686967899914737504a^{2} + 110079337192436041432829936288a - 7707976691088801574653945984 )x^{5} + (538231889904225590638785363096a^{2} - 14971106815022460325918717536a + 474949547718376530091126656000 )x^{4} + (-396200015407948206777510793024a^{2} + 128182797741106214138675617472a - 450252373759593360389068111232 )x^{3} + (176540078923610235477563582704a^{2} + 259037906747766893131206764816a - 194261242342016764633167861712 )x^{2} + (-554448567458596565720659948416a^{2} - 536657430087536134675258347552a - 405280779057863861925502041216 )x + 339991477161322910133281792984a^{2} + 225784209097072046197499581600a + 337786983922102670055865456564 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary