← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (524191769533429648813370418136a^{2} + 449833463749516080245258918056a + 388637636515031632857082981648 )x^{47} + (110750477466188629772384746336a^{2} - 607257246980995700962944137600a - 144145229280197901223552391384 )x^{46} + (375001567974677631749300221776a^{2} + 301334123938970656020370706496a - 224893210148263003872167420808 )x^{45} + (619389367826695155073684747120a^{2} + 596498422066835708870553127648a - 413589686348175906997108404224 )x^{44} + (246730357033299664585168405856a^{2} + 83681536416263528843110331360a + 549949014277474391291622483976 )x^{43} + (-119341228692853982800482557736a^{2} - 244033338471334343657186541008a + 483484053125414754133516722064 )x^{42} + (181497387877523820970410705712a^{2} + 421492493713771059460044127104a - 152622165897478138465958048448 )x^{41} + (382393532318208156696040229204a^{2} - 602228516962072040771442667540a + 580626504700282397502829145792 )x^{40} + (619134418079406787561082415392a^{2} - 291238208462339169354185413424a - 292275025185106138386589216464 )x^{39} + (-3096821950311119528684364840a^{2} + 280733293077958897479770467624a + 329985418028029979660578144060 )x^{38} + (388076600465187507907044300792a^{2} - 125878663099792257988699483224a + 616829237741192300210827123072 )x^{37} + (374263492021905123598207969860a^{2} + 376747704677226103784972476576a + 348929316425257929125651930064 )x^{36} + (-130571943801880022100796238560a^{2} - 202356831079502380529849812784a - 28782227394070548329914730224 )x^{35} + (-572895748117752280016973205712a^{2} + 366972655899005667270432511236a - 539151250475655030748996564796 )x^{34} + (-319714099174250447388459663856a^{2} - 36835117706446411343995110000a + 204753507628546846278960999120 )x^{33} + (104717553470097670932426858200a^{2} - 184302796612828280230263606662a - 170184031540605093739202743750 )x^{32} + (-286699925456409792274672784480a^{2} - 548196279892319567763060934784a + 281529646201975483880521428736 )x^{31} + (-220890459921007790070417463752a^{2} + 42473899620240818967457452528a - 377898145584191385884909388520 )x^{30} + (-177279076755931527975103182672a^{2} - 224581974710187289767526866520a - 361631576346639724988892129784 )x^{29} + (551654184699186953068221803852a^{2} + 276754852094956386734314728384a - 357516359720737487158747045692 )x^{28} + (-350242641877022510244611542448a^{2} + 53830894992552584728980188224a + 330784751291669571328326407520 )x^{27} + (114796227651452467110901305576a^{2} + 415621284316144879125408799176a - 524280124090882390210104192856 )x^{26} + (598635558061628101923923137864a^{2} + 41329626767430915603318851360a + 327109694717339168206375407496 )x^{25} + (2887214581515212106606556928a^{2} + 88927863089881154382636722380a - 261338398857403210233191514504 )x^{24} + (438137231146401818497880412896a^{2} - 412843780516556896375736005760a + 159513040447570117374265504608 )x^{23} + (-249097562111057510982235141248a^{2} + 582149430388882022815070160784a + 268623860152456485077584798944 )x^{22} + (-596803967073290040866456338992a^{2} + 398676330012279481511968877184a - 385921267248071208788134565808 )x^{21} + (-241648638583512189599519114976a^{2} - 541363128626786246990283746488a - 403757778322353269657677115136 )x^{20} + (-198058616214716370232038483504a^{2} - 272188616843340873146994681824a - 40627534380060230272407078624 )x^{19} + (-617524359878469312857223241544a^{2} - 299515251616443420495449550968a + 180243834627458783908060651112 )x^{18} + (-511110222312024488059274976464a^{2} + 17447129143292188743653596784a + 53759792144720229253868244736 )x^{17} + (-66030323594976008880179001276a^{2} + 619244691833426589670372497220a - 265076257363702241151394724600 )x^{16} + (-529715665055700550549505043104a^{2} - 480552767165865184351307445344a + 630889621937808905713998005536 )x^{15} + (556879366563963367152027237168a^{2} + 131330240702175897263169346720a - 324076975192685103243760045840 )x^{14} + (86889357665447550086868129744a^{2} + 526455752475437621877022282912a - 416761283284670577911967503696 )x^{13} + (186826642703344674309092509864a^{2} + 172593491218034640029039257024a + 174532031180998579800022922624 )x^{12} + (-5372896118407335705695415296a^{2} - 376753517535728431297615042720a - 529828290273998655358428700384 )x^{11} + (627507676975044388594525890888a^{2} + 2442396513079479908179965800a - 156239845169248897076737276744 )x^{10} + (17806518247748464776780687744a^{2} - 157659700948788351458096091984a - 203737175511651411330097311584 )x^{9} + (340226101310521771693514391420a^{2} - 177587162701201016749366743116a - 385812072023213903696568868692 )x^{8} + (154069340657551073880232768960a^{2} - 283129844415601136556191778496a + 75064778966389443756182485120 )x^{7} + (130725905016448857358115227360a^{2} - 158730955371134591082685197840a + 573901454860323847814581714336 )x^{6} + (53138294473431364009547076480a^{2} + 172084911772304430043583173760a + 35228896722163956265131239264 )x^{5} + (350596345771503295065030962608a^{2} - 613192946685546076029294893512a - 391658545134612074488369348688 )x^{4} + (-545496895306494441880693493952a^{2} + 104932669038920738091579104640a + 571811427457028959016518097728 )x^{3} + (320481243966757119538529566944a^{2} - 8432464327038213821467414736a + 349108550964930588915489966080 )x^{2} + (-43974547029695490156198150432a^{2} - 455914842972034310150490854704a + 263744397109802162282739253920 )x + 286084117859610722145005001156a^{2} + 6728873755543502720939353212a - 244695571240275667839521796264 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary