← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (524191769533429648813370418136a^{2} + 449833463749516080245258918056a + 388637636515031632857082981648 )x^{47} + (-633320275798875601594529744032a^{2} - 385237646563971225956709718688a - 43394708903558125842792610032 )x^{46} + (-375101701282292351601108658672a^{2} - 383353909940374513652370760000a - 180975630681256397268628669736 )x^{45} + (145935249116598090238922484464a^{2} + 110084048673971588265508062536a - 282487960933480863022495369520 )x^{44} + (310216080210000102194719568736a^{2} + 593793709581073814530951623040a - 336065512874036150259453517128 )x^{43} + (321110858831679441642532256736a^{2} + 166142633216658113774871601224a + 235168720060929933478519206376 )x^{42} + (442621300520659753192662082056a^{2} + 8473597065720641678847397200a - 192837988433218840128893090928 )x^{41} + (-190734952727536063678268478452a^{2} + 478225308396330874533263883304a - 236460014980588285352794688808 )x^{40} + (490186593018193538391385418208a^{2} - 33046690414658758190114262928a - 239361712064340232087526155984 )x^{39} + (59197543073051754778155822792a^{2} + 434442599749065034208611124296a + 41961253187247332219635055292 )x^{38} + (105589235103184975998961191176a^{2} + 335683629271849092313935987144a + 436227138684589912226210398976 )x^{37} + (-410046675230036066873880757716a^{2} - 609912321689787407522736344456a + 57714955810875848454605169232 )x^{36} + (594201898988723446575945106720a^{2} - 112987869462946471991869818416a + 15316119363429205528878720368 )x^{35} + (-520077701713146481929752198608a^{2} - 439409654730227245346718657476a + 166162025094402123087410972156 )x^{34} + (486508240143168352948464551776a^{2} + 149867900882857354772241063616a + 315286496003979437733667419888 )x^{33} + (466077961846232524452270859080a^{2} - 269156306861141941320837850506a + 58646198355961935780579067270 )x^{32} + (-551116251455745423500489635776a^{2} + 616284694333637349876450415680a + 40554722611910239825970704288 )x^{31} + (-300949392585793447650913563496a^{2} - 81964388267552436181021063120a + 552514118001931230293259929704 )x^{30} + (-364704847884578313235382560496a^{2} + 511908079294239220073181843592a - 334968534773490066373828865592 )x^{29} + (552607165314728830912820085796a^{2} - 408617234150995849486317644536a - 465077977360672612164608096228 )x^{28} + (167924048254602046775587009648a^{2} + 102397747689227317938292150304a + 84715032548643339425707379040 )x^{27} + (-554238274274077423749564946088a^{2} - 538755207982693799924465255736a - 97805246595038427848448741736 )x^{26} + (548348315396303085801615591656a^{2} - 259371277402434028798241510176a - 505865841906160160253411742904 )x^{25} + (508564400660919902924798323552a^{2} - 265162757790674150369939010748a + 23521929800391493312853276920 )x^{24} + (371318879561440911601768171776a^{2} - 559404003084584246283732709184a + 537221942519581208203640517568 )x^{23} + (600989068912569450693467917856a^{2} + 459216690774262822691178838144a + 223145970800530991894886015168 )x^{22} + (-569662657686418404761558532336a^{2} - 137655098554327594954280859232a - 504488289865331649456207978128 )x^{21} + (-631921176064061002096743045680a^{2} + 261190562293466671167640143544a - 461870666537739064615256494232 )x^{20} + (129449418641653969915113975568a^{2} + 66599779637099459649061851488a + 576829844578529205439010455648 )x^{19} + (-190264140973844705873914425352a^{2} - 193147128093658946972608297624a - 86066350683089959792702637288 )x^{18} + (-257047587975352641583919014736a^{2} - 388725742506121250716504012400a - 607736702092051690140781673280 )x^{17} + (-348896035366883343079966546764a^{2} + 630375235853119258613893119708a - 432489430233122448321053144096 )x^{16} + (16698254622280123793337719776a^{2} - 502673588860406331637918477664a + 246309528734213632533442526432 )x^{15} + (-34683395608745925389146234000a^{2} + 301168931410097458580740843488a - 165726535568494265517839472112 )x^{14} + (-498344190203749054255715814704a^{2} - 238580628014667275703503227392a + 313092909252989070959202079664 )x^{13} + (-73039581052510832481014318648a^{2} + 226326824172664192318351865200a - 31449062706599828982089366320 )x^{12} + (-361200137762422377881184299840a^{2} + 541453763269411820173167169984a + 48962611361150588755786178496 )x^{11} + (-363503121934815625627279254776a^{2} - 97322554933671827178744142488a + 449974613634015491106517592696 )x^{10} + (450195010314438214998546677824a^{2} + 341632724831866599882286843696a + 472260132579716081039525129760 )x^{9} + (-500562122479028284438435616500a^{2} + 622189291764574572957343702692a + 358009857809389903787800160108 )x^{8} + (39205192543434753475418250432a^{2} + 547211558606191684491291225536a - 340580963485222228209579896512 )x^{7} + (156310801789476565645027006304a^{2} + 398822987357356202364142938512a + 593774585502232869024873336000 )x^{6} + (614492698383776108546445175200a^{2} - 470841184898229192464833085280a + 120598564446933878658420749760 )x^{5} + (295668731477961634838617039568a^{2} - 511915981004607066026380060088a - 61794995697717726295470248160 )x^{4} + (538190207342807322359381811712a^{2} + 74325372256359414972004044160a - 629640016014647323573593713344 )x^{3} + (209231004856751048349845852288a^{2} + 414962878981732472147690794016a - 532070458404756302293449302000 )x^{2} + (-108856206270884631689779178592a^{2} + 340333849286458773946185016752a - 282711565454099925464616943776 )x - 48492585512896626481319281964a^{2} - 591644073861046830530950443508a + 592617451858894411683680108776 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary