← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-81862791018194762456939671248a^{2} - 443742213237136283402094986976a - 341741141654334138731879609392 )x^{47} + (407824997789144795060042254756a^{2} + 88193092219639801743193247856a + 85221217286298497603231599576 )x^{46} + (21369225049397613206672810136a^{2} - 302027215725984042071642946872a - 505865502269262984593208663928 )x^{45} + (172281303515099121207822455748a^{2} - 403361077102830341032952579984a - 304798188366942717360895148568 )x^{44} + (151565621644243259001197268976a^{2} - 277298127035469014890317092528a - 299587711630781094756798744560 )x^{43} + (-48064758916928238708239333292a^{2} + 89440696884710844214245788592a + 165206443156641645225238370696 )x^{42} + (246536268040084120959991474352a^{2} - 276788210008373046130769340864a + 562034731438189991300441616888 )x^{41} + (422570731637499426514362074132a^{2} - 481100969371557665018058754816a - 74372351440391130778048416380 )x^{40} + (221345917721580837280166744512a^{2} - 102777844647528740173206444176a - 231890857657684410498936090640 )x^{39} + (307658535723176776379529910888a^{2} - 347521553687856287274938535608a - 325131195853496868988236631984 )x^{38} + (-501979758483854946816888115056a^{2} + 81296136557082442460094214024a - 632955164586659100734476539104 )x^{37} + (-152591577832030855912687454512a^{2} - 236680016279090768433485909148a - 161425927848081190025671877488 )x^{36} + (52131755141593276769938009920a^{2} - 557233242818481385679787666288a + 477051595904219898789309094320 )x^{35} + (256441387746503326494555824856a^{2} + 360625465435411071671362890564a - 141905028908285170904851364180 )x^{34} + (16773807360854179326892766336a^{2} + 467079951892003288229514034160a - 1235879112973558942615980000 )x^{33} + (326687836857852645022938333562a^{2} + 263147111625707380903375661234a - 508109789014862852243734356024 )x^{32} + (250862540678606844606535272000a^{2} - 416154757678861070108577462896a - 30551335407154120639174576512 )x^{31} + (-372103656372912939445889290760a^{2} - 594491552415123559781245617432a + 136224386731798229092602753704 )x^{30} + (602269146131414060059774925512a^{2} - 175072713748951853138153284512a - 279722326619967884675129329072 )x^{29} + (-464538097038875558056945675004a^{2} + 235430267538574199263634266992a - 471017083857855000544614629024 )x^{28} + (-60034024556790158511723026432a^{2} + 232102227968387218905762477312a - 520153905837085295995484778848 )x^{27} + (-340483723974825637970228958656a^{2} - 172655152541375772003180763984a + 547014069465177017709215260136 )x^{26} + (-545099342751097973502989583504a^{2} - 323984612029736678102409738720a - 358181069335613031490836734256 )x^{25} + (-92721149270650312254336104820a^{2} - 338765619565977950931497089440a - 498715879426012375386110827412 )x^{24} + (-533948658475374779709871311904a^{2} - 550588275492470921502532619888a + 56289569318007864551100532224 )x^{23} + (-628106456923320275682845066840a^{2} + 18162904783251124382100293040a + 148719204117972686131192921264 )x^{22} + (-328498184174137694414071313584a^{2} + 155464988230398142957357427216a + 390694689134712765122527610224 )x^{21} + (261062112415126174167675461768a^{2} + 500485025687918035218358749632a + 487317984753918901723418232056 )x^{20} + (362869961087741408568000650016a^{2} + 553703001009923632021984141376a - 629190896446234569089031766368 )x^{19} + (56293764233448911970883646048a^{2} - 89160298881381794380372333600a + 421535952834560295221201858888 )x^{18} + (524249017225611257089019604624a^{2} - 274811557899451665904681544208a + 348859127920741324776072190432 )x^{17} + (-113931283156415164814653805844a^{2} + 446792048719210756284013501848a - 194118639152060981090455836236 )x^{16} + (53329068499865336304091208448a^{2} - 380623657680092935236081649760a - 203036695465922378890766701088 )x^{15} + (-200191280210099159700635738632a^{2} + 300625949113417469030274552024a - 161912290474989507566099427928 )x^{14} + (619832041163501482944567687584a^{2} - 220311666647871222763606954208a - 405946789612660516396690673024 )x^{13} + (-328533043373137553868172035176a^{2} - 292235613168642139428433757136a - 444921317785398624346888255576 )x^{12} + (438366696397125433355615387840a^{2} + 69949166321116241858129412896a + 27827239669166307582019264640 )x^{11} + (319761961452212534280689759712a^{2} - 552397967790605365108803175336a - 116015449169041334896579148792 )x^{10} + (-107488858766241297928756801952a^{2} + 74919561464009054833970040768a - 58189932025192744193700101184 )x^{9} + (424832937962873634402020379068a^{2} + 405823537431415044835905598996a - 303492062668623842057471032032 )x^{8} + (-614993500808546481611423372992a^{2} - 15012212639876246715636623872a - 563655388233999275341974658144 )x^{7} + (-362365633776959688813243676480a^{2} - 569987232884316941007761767632a - 397037961189662433782343758208 )x^{6} + (577407183572552706204337324032a^{2} - 8454926248962053763433575008a - 8873666597090192417409854848 )x^{5} + (512943658363409322006868031608a^{2} - 621205840088938318032538640416a - 146385679414857137322504381888 )x^{4} + (174878968930140812001690750464a^{2} + 93167495739923383790282474304a + 258815208784320805566703141568 )x^{3} + (-161439007307871505566624529136a^{2} + 224099635465341730970565501232a + 239116932233827693994900175792 )x^{2} + (296313280255407857887661715520a^{2} + 492569792280729964570911199488a + 582780027945683878418153706752 )x + 585124098119306693268811616696a^{2} + 259124214194494846990370897040a + 39655362593566192967957729204 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary