← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (524191769533429648813370418136a^{2} + 449833463749516080245258918056a + 388637636515031632857082981648 )x^{47} + (-187209406308734139066476271792a^{2} + 192116661781462351059839692696a - 599009296535594022528832636360 )x^{46} + (356067886248349510410774433168a^{2} - 223073375909741131016019205088a + 311815642303531469959177771512 )x^{45} + (-480058499360635553132683896032a^{2} + 595340325411534063458108538040a - 463322241102716663518241958800 )x^{44} + (-221227253821678043091643248512a^{2} + 91864597848423798063360411024a + 142698465463855457730203269992 )x^{43} + (-501047674205763579198645386888a^{2} - 358219206704191088166049825632a + 441154733375310301028071112808 )x^{42} + (-200758473843598165551386151768a^{2} + 306464089110410290114083426152a - 497807915122744832255373914128 )x^{41} + (394696122694341845914343820740a^{2} + 221785799616160146636940471244a - 488776529102812068132614622048 )x^{40} + (-371502506483766756439387604288a^{2} + 211587603888201412694888901328a + 134517711395195138177953391184 )x^{39} + (144552826372445199629566880248a^{2} - 324850025195886880330091680168a + 312571989511166440632641280412 )x^{38} + (-595433145024404323328551089944a^{2} - 632249016545648594411719035592a + 330002522377006554610231581264 )x^{37} + (15359168980075728502276004436a^{2} + 239806319326609388141048985984a + 130431767481618996667482052224 )x^{36} + (359095327548586727970752245824a^{2} + 288086503375835040759716271984a + 390683637348695406757218899664 )x^{35} + (156789698488354665943812809040a^{2} - 463628482147040350004870429356a + 483882788616495869331050053484 )x^{34} + (514464321669977926634800406880a^{2} + 37609717615998993683691451104a + 380685893467134499509635471824 )x^{33} + (-441344522271080373822644627016a^{2} - 560865712312337153944555623766a + 130859870299238830842505613886 )x^{32} + (-90792846572257867461402105568a^{2} - 504138373197273045902127579392a - 354282821132013734076624981120 )x^{31} + (366339209261868207243004304520a^{2} - 625518039075282509847434910816a - 356396052183636815987493738216 )x^{30} + (628034908940117477007229668944a^{2} - 522456812588618250125258734392a + 115144369897809256057061259944 )x^{29} + (-452777214775797182602217045700a^{2} + 627844158002548906545803868592a - 539704254742400044210258620388 )x^{28} + (472861852357708869840269787184a^{2} + 88148403247303071251153755104a + 280954102244653248154341033888 )x^{27} + (-458706304836765779408407601320a^{2} + 108551843742648949653904878600a - 240356099614894176126281395016 )x^{26} + (214644048090025706141360237832a^{2} + 315895575977227527552197787104a + 421261698547568071938982905160 )x^{25} + (-56943760643786609421574334504a^{2} + 320161800206925231524049670060a - 453690970215537275691621488 )x^{24} + (626763532601550615575405734944a^{2} + 541513985368038587243775261600a + 131306606236478479352309579328 )x^{23} + (-533719920687833523254548480112a^{2} - 567848390485444776614972588032a - 492664652243002596106259337024 )x^{22} + (318756065167956649238830686448a^{2} - 153302135022572162971843940064a - 289090673922007187602577803664 )x^{21} + (532712149416641142964897715648a^{2} + 225063447348120365365151668360a + 460099924249415620581089498432 )x^{20} + (-83125796113961460059107683920a^{2} + 345702688480081188075315947072a + 162988064509003461082993804896 )x^{19} + (-128075929000051868697610002360a^{2} + 603099153667962999213778682920a + 353848083269287033850256495304 )x^{18} + (548803064998192911688361813168a^{2} - 315625082860196684125911548848a - 541667854334720319512817678560 )x^{17} + (-604160325901576130104159197148a^{2} + 265762261051466641417250474644a + 128861888314579934684648199928 )x^{16} + (390500052487699444172189482976a^{2} - 51368381778220241353169195808a + 211330702189405276418681673312 )x^{15} + (-111742064277045565011809891088a^{2} + 206909444349245232647330986688a + 48766650145067756135037391312 )x^{14} + (182494853304274365638910594032a^{2} - 117493010637203531143840801280a + 586101892765377400590336975152 )x^{13} + (486459585903004690490799911352a^{2} + 515915489203320163739467704880a - 616180182913894073428082486336 )x^{12} + (-164756211610456879129433874816a^{2} - 19578291005225044022341291168a + 398229807690972118081613526240 )x^{11} + (-113104811679031780334412880728a^{2} + 201597200694890186226832677032a - 32700158897401937593985261224 )x^{10} + (-274786690867669879614795717632a^{2} + 211465053038341005487327712272a - 553388701322646222599071377792 )x^{9} + (140478302862580505093226397500a^{2} + 295007065768460596129884586868a - 331148392025388991232817871204 )x^{8} + (30249241269852693815286858752a^{2} - 580958974013581407517030005312a - 370120415087296072098085850944 )x^{7} + (239511908836237237706806532960a^{2} + 116402325771916628061706127888a - 506174016289454961459593267840 )x^{6} + (-376314459857231529715318032608a^{2} - 25943960525740099186774729344a - 369742957626474482570066760288 )x^{5} + (422610743802184279736328180784a^{2} + 259740573153413237619257436072a + 120419986216591563461183973440 )x^{4} + (-83642544571166386807490574400a^{2} + 133161423406126719594135059904a - 353808264968431610342349726656 )x^{3} + (-607665094587389164779004989712a^{2} - 378028703252834647018854194656a + 626593150419785144069826365328 )x^{2} + (-54859615804675311208206939328a^{2} - 307457086643636925623639367312a + 308804970262646374330457511104 )x - 298108230597054595021680159628a^{2} - 513664989943664474369168386388a + 327393939056462901473344776568 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary