← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-81862791018194762456939671248a^{2} - 443742213237136283402094986976a - 341741141654334138731879609392 )x^{47} + (-198814332624754583761987793748a^{2} - 172001905149393084967803064744a + 239874068003853016298622518136 )x^{46} + (37857170418169911991168368792a^{2} - 312688062903643234808331540568a - 338544845168127879859772615032 )x^{45} + (296315864476347932872556710036a^{2} - 543173912261504763973911931072a - 3825227412751476428077545480 )x^{44} + (-400869266231827379886552382400a^{2} + 425501087021497929736965591840a - 233325196280932246997168215104 )x^{43} + (213678951550035130568750578884a^{2} + 547861240122410993100169359984a - 277250319453188688628469125648 )x^{42} + (-169421597925329761408802180624a^{2} - 489398383628096787990433331512a - 356332282829051980879331491816 )x^{41} + (57086181294477176773802682664a^{2} - 391296262296387624316413418884a + 568430299347916030590902560320 )x^{40} + (269392156953237091399841116672a^{2} + 131457450625565229088761339248a - 494768872519448146488537146800 )x^{39} + (573461866393183397081956141800a^{2} + 275399000190148369239753266800a + 460897983048070275242474001608 )x^{38} + (-464102646024565578781687053120a^{2} - 377626172747582156596414704024a - 60929004147590110952096734960 )x^{37} + (544658903630271992040534225496a^{2} + 226051560082168298809875128532a - 138108403210305021114414716240 )x^{36} + (-164169106202372379899173490864a^{2} - 53813441761238047665732203840a + 623117088064821925704923777136 )x^{35} + (172241648062884753122491494232a^{2} - 52946006222242611815487383340a + 531507265131213398185551279436 )x^{34} + (421528321780570934164039135168a^{2} + 549002497298874539176500024080a - 526684727160322925591799987200 )x^{33} + (344577949592366580507178510702a^{2} + 103543532674627849133108237690a - 272004832512743061739071013288 )x^{32} + (-158663582455368986161628419648a^{2} + 284593973843947484004883882064a + 257322476931261844724991996160 )x^{31} + (37982300818129107625575372808a^{2} + 428637703548599218182243259016a - 40183037016511450690867429464 )x^{30} + (21105371587920623683349515496a^{2} - 86175470135741463758490773056a - 46047029454660553494514656560 )x^{29} + (-572239914338253818364285246372a^{2} - 391608828485882736169534733096a - 564205095807514841690491738648 )x^{28} + (-72050383832636288217216467424a^{2} + 514865465192929407328222828832a + 366089049646384593449252471264 )x^{27} + (11138733690530600240528045992a^{2} + 247361586069827994162050532888a - 490118773630958902460121517976 )x^{26} + (-517195770131711600247277376592a^{2} + 29574271700644210172215643552a - 590920653267899320531487529648 )x^{25} + (117876684618207296041970048492a^{2} + 53542718317350289699721301000a + 530354476134527251932997557412 )x^{24} + (-75467492404749489653195477472a^{2} - 217741671403174284943544946864a - 447630623506930734637472840896 )x^{23} + (621042791856210588343226471816a^{2} - 51503584190856218191907752224a - 594849466022723872695766824832 )x^{22} + (-431830584461456967409305945840a^{2} - 628220967689342737631325688400a + 126006448131744241947233978384 )x^{21} + (-87674343018144572646929898520a^{2} + 353109051302069929768570259968a - 419461431507936823630913008864 )x^{20} + (467086206971596585217533825664a^{2} + 379094961981740046613608999872a - 468308040638890121462345561600 )x^{19} + (367260124485294610699621854672a^{2} + 561977330799141791506031739056a + 90731434290309749200598859320 )x^{18} + (-359781607953628483779956610224a^{2} - 490355391068512588665230791984a - 79235570030850695389003130848 )x^{17} + (485193329309375561929181395124a^{2} - 153731653871529310001889704896a - 281246070944030244454545685300 )x^{16} + (398913067220263241793418052416a^{2} - 394461103960859960869012927392a + 114238440515692338099697550752 )x^{15} + (-468350624260340557794738527848a^{2} + 465878565534229416608836893240a - 280979385956843060960267421144 )x^{14} + (354402328492962570987951426528a^{2} - 530717592060413834590563161088a + 167838920992160620087914082272 )x^{13} + (-622872819204552766600800942408a^{2} - 151049957276201189222703112976a - 234421695568571751534334961512 )x^{12} + (285953367627646780655820387136a^{2} + 162258803610752117760072896864a - 390031594149571019609143581120 )x^{11} + (31500953356557855495890467488a^{2} - 538100345311229714856183247128a + 389633767838909825935917441192 )x^{10} + (633004609470264282418866597088a^{2} + 252450025051700393116654198848a + 217395217515374374093165745792 )x^{9} + (-304632247459018446773891862564a^{2} + 466979738915284634768934888388a + 536924308195866512702327808032 )x^{8} + (-471622721551462259679585522816a^{2} - 587310585263033538516097845376a - 149585108616402378822048792864 )x^{7} + (-573744375741932637082383465504a^{2} - 7734997703610441528434942768a + 540317029930338669813392929952 )x^{6} + (-230268420837456707689641691136a^{2} + 511080145508924599292942517152a - 318719480223426641839910099680 )x^{5} + (95295042026938428895286187272a^{2} + 586720880328658888950913617936a - 2919009449403149580582873152 )x^{4} + (503472464303855179998388492864a^{2} - 285469868523867856172056958784a - 514731041966557458154253009536 )x^{3} + (-476300389591150913745798979120a^{2} - 204154884083503629666517149360a - 297611613581450591058380489712 )x^{2} + (-44000010775610290373673967296a^{2} - 114841523892947722133511559552a + 144942291666597899652111873824 )x - 179623353270098965514478585896a^{2} - 565360655376522844063193035904a - 599168943560702203031337155996 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary