← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-81862791018194762456939671248a^{2} - 443742213237136283402094986976a - 341741141654334138731879609392 )x^{47} + (-186486894845163600305585797204a^{2} - 609850088604887397771040629040a - 319041804320502892979168929800 )x^{46} + (-478228139414066849791707114760a^{2} - 472281745972537520565458948280a + 88443927686848711270241135464 )x^{45} + (542377334315593467810983554044a^{2} - 298549445308405418381749849544a - 528754314435282455381117806160 )x^{44} + (-275934091308740925069932205888a^{2} - 597124277669822367945898266592a + 43359705648370466769980686752 )x^{43} + (592813181800846543019772399540a^{2} + 237737535995221445105329729192a + 553243512626227538256876709200 )x^{42} + (-6508401984985972137282662984a^{2} - 274205106492462306798024877928a + 358841759999127554781385272616 )x^{41} + (625219296709775349711919901460a^{2} + 110515895273638550683712452072a - 182677700578775930537669235492 )x^{40} + (-514091609785347984435001491040a^{2} + 465863290077789552928182688880a - 628321967167543154298693528208 )x^{39} + (12917587093708150279423686832a^{2} - 363696359297236446847332198504a - 72174756886817547348920558784 )x^{38} + (-330043156589445121635662049072a^{2} - 411835896884086150881107826008a + 52401623464377293385500105872 )x^{37} + (-106380668271867412806515267312a^{2} - 375750430657081375282128958924a + 4590268313822047639526859104 )x^{36} + (458118226068452123303354809280a^{2} + 289173898049183341550756741424a - 32111498342741874571159596432 )x^{35} + (280997598434838537253125103648a^{2} - 267550813751873343940015997604a - 608628975709535106872381726460 )x^{34} + (-380062253187043324240236027168a^{2} + 582120797362034094220427128112a - 177572870745532181009675544288 )x^{33} + (591466525516690743077392148826a^{2} + 373588329021473111677683268990a + 281277506012018113414945417008 )x^{32} + (499637302554525604685251203456a^{2} + 468033025585787016081412923280a - 97309316511572266042848662080 )x^{31} + (-137363555091244100701264927768a^{2} + 514145971681085091795841881304a + 100358537655539789569738663304 )x^{30} + (172144430370981109585030536168a^{2} + 283616758986826203263547172928a - 354934170604511053207468198320 )x^{29} + (355423646421678661561888633172a^{2} + 261432737583599627295359293336a - 487137617270494176681419804968 )x^{28} + (479906081961984776236178291456a^{2} - 500388676887983796311955262944a - 12618474521128307155055820064 )x^{27} + (471302462405226144353669733232a^{2} - 14033933608218905381088548368a + 6289401012005366720999044144 )x^{26} + (-329537372107684440273383714672a^{2} + 624155998954419794895753081280a - 267857878918508700502756320848 )x^{25} + (209254952818880133518465901876a^{2} + 127262998294596401613994529848a + 550966660461063408295597628268 )x^{24} + (78862621314625197130908989152a^{2} - 40496417543730359624405100016a - 117941908445160782666613719232 )x^{23} + (-369618556047879755531781312264a^{2} + 205024583449590311423216586528a - 558745958465130844914434812816 )x^{22} + (-377834377383424577102632080144a^{2} + 308184002453384397704076924560a + 554955820358864201870770383312 )x^{21} + (405653157428358579981318938344a^{2} - 604117173490658052553552144864a + 34487793201375804853968563016 )x^{20} + (-336038148468803130828210608320a^{2} + 449070019528233838989822189248a + 114002749629738482688580160864 )x^{19} + (502940112597567897452509936144a^{2} - 266998525696261846656557492096a - 189205122188309802878053511000 )x^{18} + (-180200843419193153587399209392a^{2} + 328452027378756011270102015536a - 305500477968086296098507437568 )x^{17} + (200431873168301811143207501852a^{2} - 214351359397053249695844651256a - 492129242019198075029454201404 )x^{16} + (238150777133009305323294429568a^{2} - 297395663137871655538372864800a - 177718087404380699891433062048 )x^{15} + (598210011977024475809588178616a^{2} + 350211986798258386672161530136a - 486843007316127366457166495128 )x^{14} + (597683144398231425924413244736a^{2} - 341295829625748281913804084448a - 573127665131462789534397333216 )x^{13} + (326211039905702143520540675064a^{2} - 463719238478400011630252688416a + 265548996968377269062520709128 )x^{12} + (-313913826765892440086381822208a^{2} - 176586950660950748617183983520a - 342870137196812977874074730752 )x^{11} + (91441510222901576770122699120a^{2} + 195770751643434104937451933512a + 246576686635259244805322405512 )x^{10} + (-117099511111407330002193585248a^{2} - 243161630384778058876327537472a + 150423723103385635280008569024 )x^{9} + (-394288502855083754353384404724a^{2} - 541953057486946905878504166444a + 528227982433684807757300205824 )x^{8} + (215670719714188799653611398528a^{2} + 285575398280486152594657933504a + 208251070183745495241481260640 )x^{7} + (-547316544874967973260597746368a^{2} - 313022129385035826851471516944a + 215893402609528932569723364576 )x^{6} + (-155399483672193715546386521440a^{2} - 523702856846875434328452888736a - 358525710405025781444160316512 )x^{5} + (510637682177597054428189184712a^{2} + 534837996699037073960606238800a - 167999237465591217041829705056 )x^{4} + (381357787781131136807611953664a^{2} + 401747012735700909182801236672a + 282455907338843265769716569792 )x^{3} + (202004450127091455290218365776a^{2} - 617548908130290045904001285648a + 316065392134131041618515289584 )x^{2} + (80580711003874317827014732544a^{2} + 74216499607916097707555034208a - 76452738879875592934060186016 )x + 146889476339068891092488280248a^{2} + 429969681327500358876773710480a - 85164466276451757747034422748 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary