← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (524191769533429648813370418136a^{2} + 449833463749516080245258918056a + 388637636515031632857082981648 )x^{47} + (117082649763246273346843097104a^{2} - 403653954199661487032260860776a - 457533659667008441696370218640 )x^{46} + (412851529389590145278744668368a^{2} + 146691324803111359542437835040a + 282988434672921435483873283096 )x^{45} + (481000519738346185819535344768a^{2} + 309173387363804814267801180448a - 459593108605250319571337266544 )x^{44} + (401983591855688084819229130496a^{2} + 477249662742120119843482264432a + 300720295448302611064996982840 )x^{43} + (-93162747597695428371108368112a^{2} + 596339793570561333786919277880a - 236467933684178817835391182384 )x^{42} + (-100047271754463821865864031680a^{2} - 36012171197411387984866195544a + 221818589761595987466985609232 )x^{41} + (-580891704657460289931226329964a^{2} + 244455896996429714446044682952a - 111139463611900882783871294760 )x^{40} + (450719900377572934519235199296a^{2} - 148625015465583157388065409744a - 568191140253419211701779004272 )x^{39} + (-289022358584487735015427151224a^{2} + 355074491939774578680772027576a + 401479453632324788760020564764 )x^{38} + (464164589510169229925069298232a^{2} + 597015942801616900563246388440a - 222070036696955532851139064656 )x^{37} + (-324949679593921266117515636068a^{2} - 137439791205286571087503903704a - 49063580708734274137353569888 )x^{36} + (607155654782120376111174257824a^{2} - 630831863929811972056463575344a + 416235712525411517633926171280 )x^{35} + (-564787305419802447277746529104a^{2} - 365230362742534447674508118068a - 85108699339671214432273708668 )x^{34} + (401627409430750068217707686384a^{2} - 463424629240216871847278961072a + 113988911449136374080750768592 )x^{33} + (-595212970394344097899451076928a^{2} + 580444489939246949538536503174a - 445032839953478404263059298558 )x^{32} + (-630969047257798309427747145920a^{2} - 579642725678935625359815198912a + 89576529492973838600537564704 )x^{31} + (-46855978606238125703710879192a^{2} - 4286635266592522021811256736a + 112885808023025392305467282664 )x^{30} + (-42013382743646858053155416976a^{2} + 572378597815363007230446683624a - 230506866406295648187917903384 )x^{29} + (-355561339517801843792035602524a^{2} + 58273224726542223360014509592a - 367598877490941648701437630300 )x^{28} + (230929167400214439667058922576a^{2} + 596624403416819646920375621568a - 156472371485675505618577228576 )x^{27} + (-171827839011735569796142108792a^{2} - 158822373552711612454913940792a - 381967434444964617257618512728 )x^{26} + (36629068159510318932489116488a^{2} - 289657438707542911835380883584a - 302033078816404136074774600920 )x^{25} + (197025789272860267549353790488a^{2} - 537132965730632091425607591500a - 489083278925175330901829328848 )x^{24} + (-193488590235220474622314134784a^{2} - 180318619931931429724512177312a - 188583499178690622566688224864 )x^{23} + (-544350905175902502773683887472a^{2} - 194647088375501098801843906032a - 384810609534693004985094890176 )x^{22} + (398004951263074242862298830768a^{2} + 222325425244812881460817573184a - 363247853469571695834956685680 )x^{21} + (-190416922334217769910278732560a^{2} + 17627776012765619674068968984a - 501862189502026715713647534808 )x^{20} + (367936665573359618709366880304a^{2} + 39089523103124577912103357056a - 144714981924328693067136627232 )x^{19} + (375577334299809001022116072552a^{2} + 230865519113770608999465489032a + 15569400595620006363532066552 )x^{18} + (618502267302038123504844205328a^{2} + 6031539999142027342130676176a + 312043362699741317211632934464 )x^{17} + (446230025139286424105388129892a^{2} - 142276810251496688019692787236a - 105637227506514961171521936256 )x^{16} + (-313836915530082456455933708832a^{2} + 196988112329544570773670706784a + 299356286992454433554005517600 )x^{15} + (-572175623190303348184563727120a^{2} - 149873848015336920004635638592a + 524922825507527776615130782512 )x^{14} + (186324697376393171436332123952a^{2} + 457750318996914189529774860128a + 315329459055867338316257873264 )x^{13} + (-27438551783362672781773438920a^{2} + 439428552157297121767246125056a - 205110786822787408810556552912 )x^{12} + (71641029059677037050544879168a^{2} + 353055621438053673059216370496a + 326514321935201535970633326208 )x^{11} + (512023526039216683570377397160a^{2} - 45661304092341602795083285144a - 326071470451396624530042840520 )x^{10} + (388178934740385761051386699776a^{2} - 391382302179789418420603406256a - 484750634236535364615165339712 )x^{9} + (-409637787974310078373559583860a^{2} - 602453833189196313527364284060a + 80619595077393531912487379836 )x^{8} + (485574949509508973558764871936a^{2} + 71615213090850728264591961408a + 313102455166615424942446270464 )x^{7} + (-101312049889459579062888825760a^{2} + 69959592672326683113018427504a - 322393519957137174292092292640 )x^{6} + (471270265583667210473650362048a^{2} - 470966448995084484121578947936a - 12346580922842642954287568320 )x^{5} + (-421733127885909655110513413584a^{2} + 525946254279833433300530806360a - 250871702284384605630522838672 )x^{4} + (153461407470980100714661667840a^{2} - 483556889373535370581904990912a - 10945611695130101684554053824 )x^{3} + (-134275425907820061039804049552a^{2} + 567819929648096886497446019312a + 281304663291381621195186651936 )x^{2} + (-492974389814058513939213577856a^{2} + 383524052954457397132689966608a - 123641301471690109329025689344 )x - 85209701226157440740632224924a^{2} + 409992446232413981501115093596a + 105974788938455185507706452328 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary