← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (524191769533429648813370418136a^{2} + 449833463749516080245258918056a + 388637636515031632857082981648 )x^{47} + (1369770743879476896894683624a^{2} + 213196362925518055256299526064a - 585835592271594315586122777848 )x^{46} + (-589581236855021615683657764752a^{2} - 477255723492052557524008536256a - 28279701256685390041228394632 )x^{45} + (583645589746576744744908693072a^{2} + 90057417840963052130259736048a + 169084244355500925832309963032 )x^{44} + (-103565782978009150912847069296a^{2} + 596648045784931852816077803008a + 463075185735044352371098212392 )x^{43} + (251429250969198130074887597120a^{2} - 281846862657486754297620735232a - 58324465839094438659060644912 )x^{42} + (-532063364527736508007920364904a^{2} + 494055463105647833410354144800a - 463236499237765103147756797192 )x^{41} + (-358350556078030290170976877752a^{2} + 492630200913648588184455762456a + 448349758777152410497403235872 )x^{40} + (250866765338776835482971382624a^{2} + 542997246741557312426430335088a - 371992596925036220648587501008 )x^{39} + (226064869928279360557543816200a^{2} + 30915744320726408019721353432a - 489937511108270450748902500948 )x^{38} + (-110505119292407718833142679592a^{2} - 573009174577760240193805254888a + 478765641942464953429899539088 )x^{37} + (-334110069253162536289684131404a^{2} + 323888395806264567835994952192a + 411664458873889014605792857384 )x^{36} + (-218215206752760215002079401856a^{2} + 618299256810813997626028224368a + 560734861391844909891650773328 )x^{35} + (258149398488745962310120984952a^{2} + 68536356374589441127729578908a - 616251102130798660977116091532 )x^{34} + (-530986170709670238866973409120a^{2} - 144688680067277277705660111728a - 233814856697550877747646170224 )x^{33} + (-578409092465842305905209644844a^{2} + 36910564136023647951154999678a + 370892704348491125981552559594 )x^{32} + (-309649740274193666843024643968a^{2} - 530552806486120397822715479712a + 394977222732000026695966490400 )x^{31} + (231028199961918106859912221496a^{2} - 381207846406198506690275829744a + 346911396484633079267957373928 )x^{30} + (-40771975142030621370743207312a^{2} - 97759235682531107616361879832a + 296669406496135360813450763208 )x^{29} + (600516530371637359187127570164a^{2} + 132393107951398463962420767024a - 214795679454347905245354085756 )x^{28} + (-173154133377983421327355044688a^{2} + 204403478211594083332596137376a - 218965993419952950040489722208 )x^{27} + (-478966382906998045438669626152a^{2} - 83765554044648528659601956808a + 313371925685243119517016838232 )x^{26} + (226754391603114540497935418344a^{2} - 611885356007092594964424055200a + 436678039314215702342701469256 )x^{25} + (-455725814714371426584083857872a^{2} + 418208014031539306627870891604a - 466509809439077112039414542248 )x^{24} + (148933680798741225640737587424a^{2} - 110233970518186774791132161280a + 343380909138662170113668316608 )x^{23} + (-27500592936552828047667573008a^{2} - 305617196361288588339296789616a + 6906252625551009089912226592 )x^{22} + (49625417009090932820747948720a^{2} - 502864842481443283648906427776a - 185405053225455630516567900848 )x^{21} + (-256701716796916580169590033632a^{2} - 35325921288686028868194001376a + 418032517989791973630963841080 )x^{20} + (-388194859661369429039460496208a^{2} - 265332535217536422107368799776a - 520368554773765333333400602240 )x^{19} + (-203414837154141978342338933240a^{2} + 313482751807929629456774433432a - 596674170333686245074140783064 )x^{18} + (370424374231877122984567143952a^{2} + 218224221388942705113676724016a + 121776091454649546071667762720 )x^{17} + (-230192308056477438515555973012a^{2} + 261750686781396294864250156004a - 506371335333005567552923077456 )x^{16} + (426145640129626744903380708960a^{2} - 290247790806713981276486918688a + 275919850121617254048107280736 )x^{15} + (-320400618319466755999542030320a^{2} - 116981304115920413063676962144a - 380531419327772340260594328688 )x^{14} + (310583741755856975262454879888a^{2} - 506435674056032082852678430944a + 241664543392164536906879048880 )x^{13} + (429942603253107216587892233864a^{2} + 121641953700024388037324563424a + 471637187032500956546314378528 )x^{12} + (488564261338447070586388886304a^{2} + 508195494333807263514678337824a - 16270471956586717886308547968 )x^{11} + (-462276593301864099099443265304a^{2} - 126446216126848685334028591064a + 532172420331328889746787265336 )x^{10} + (292945505925646546045814919392a^{2} - 412954546450077914731932621552a - 267452528295389852820459954656 )x^{9} + (-490949016657640992741526000932a^{2} - 610151253830798976129262064396a + 515849329744144921040263054684 )x^{8} + (-91134035825324250701604373888a^{2} + 117346157873298213416039617408a + 558278678525145558087401797952 )x^{7} + (513812585717222241227195424544a^{2} - 251662606109414797582018898224a + 265495677247210935376527879776 )x^{6} + (271807088572165211193238105568a^{2} - 606345967370132045431771357760a - 534150064993383403928952672576 )x^{5} + (69724649375111771856662443024a^{2} + 37881413686575336546320493640a - 496625647943078312944188104080 )x^{4} + (232284855947144199125933208640a^{2} + 448315630928907765581467849024a + 67562800967461265326089344256 )x^{3} + (-371931041364796760651199329632a^{2} + 220690130456531909058823762736a - 244526686881704557194252564400 )x^{2} + (209048916045758801177532216000a^{2} + 598878298558119878251716865424a - 562549167817711158799809650976 )x + 337002909792867979010616869972a^{2} + 632327621886779661039591520540a + 294782827482332878152885242856 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary