← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-81862791018194762456939671248a^{2} - 443742213237136283402094986976a - 341741141654334138731879609392 )x^{47} + (350442403195330079980415499940a^{2} - 205065660119195203086852043328a - 255114870564991722891912329536 )x^{46} + (589464019786554787326841286200a^{2} - 335029428196164644299213405784a - 203934467076200816237945331448 )x^{45} + (481896984423356248580382202628a^{2} + 407765769031316833351779968032a + 611061596640514265858402829952 )x^{44} + (-229709944537885015864236195840a^{2} - 605186596723719342896931232912a - 385290228907751396931913034672 )x^{43} + (149247698108801633410836771740a^{2} + 163593474001792576197775403456a + 545721067155723599022669881344 )x^{42} + (429142115190186991893917942640a^{2} - 528513436798954972801350912352a + 277476449329910552347764770944 )x^{41} + (588673379465584822747579348336a^{2} + 236409514322581377512808418784a + 362119592405791533727776182864 )x^{40} + (187767974725780501357376577344a^{2} + 130048966852675124588397773040a - 371809982718073411893909540976 )x^{39} + (120430424943430246776247054856a^{2} + 391496040414392746730682532336a - 174696529032489886719123717072 )x^{38} + (39044835340021414137139771760a^{2} + 352320649696420477730209180456a + 191502663053597792705614935856 )x^{37} + (183018828238077378050653642240a^{2} - 88110914684562841349555626116a - 226191855156416322974813969544 )x^{36} + (404139379172534850763497094992a^{2} + 494975731518798722998570806336a + 21514953896377321972204197888 )x^{35} + (156853822353381987535437509920a^{2} - 632639353884764708175249746428a + 452568480136303910732543836444 )x^{34} + (-118591783051414085709189563552a^{2} - 389235131660439000743172711792a + 588743023671917899712864747488 )x^{33} + (-468724280223020647029107222934a^{2} - 101588100700408097241023718062a - 328825234486330619746234254516 )x^{32} + (362912276928447462540486269056a^{2} + 226560942572892780680303562576a - 128891354440275759513072732224 )x^{31} + (-575501078695466479298347196328a^{2} + 244247349467489510125138733496a - 372733477460793478668667281880 )x^{30} + (-468533461497459305912303860760a^{2} + 361869994338498366798285542816a + 172623387443580054709203088304 )x^{29} + (-187752488115467971062750815212a^{2} + 404080890772854422000545096872a - 507173616180608085689385857008 )x^{28} + (209199574589917270164002662752a^{2} - 283429010448870945546487580032a + 618384462055304436236952132192 )x^{27} + (-600571884680157611305735270976a^{2} + 370971454785852591930614593480a - 538012366969577516733912858928 )x^{26} + (-326240239030978816129416245648a^{2} - 307562500491590051172239996000a - 360174825323472225253397035824 )x^{25} + (140353403068664368400479604364a^{2} - 57636532294541765329667284864a - 112376991215211870691325866452 )x^{24} + (276867882820297923288422693728a^{2} + 80777331435182212267864242512a + 376494063768520944698587090176 )x^{23} + (-288313948216484759825731071016a^{2} + 182906120518440947001320612848a - 155563592118086955823826438736 )x^{22} + (-185897181277983390474193932016a^{2} + 541483291502668267184170293392a + 45464990109274565233467848304 )x^{21} + (-172164437152587571657599894888a^{2} - 505333657765954900333288900600a + 332004096881885387108899992328 )x^{20} + (-318647985801272885838514739968a^{2} - 77604612679401705304463431840a - 387732266734504274935639098112 )x^{19} + (432481851478398732076402058032a^{2} + 132476344820852363356728758176a - 128335932347603357010223983192 )x^{18} + (124297341221595115610476354448a^{2} - 313963727288320809634167035376a - 381573174460399067097630409504 )x^{17} + (152034543568197592652099132340a^{2} + 17202431626658826044267689512a - 587744040568875553855250787604 )x^{16} + (3039138401465284368080913856a^{2} + 107450074077152398743471192544a - 384783398485704995535590144672 )x^{15} + (510641386139732615814249313816a^{2} + 61053821816047463192846250616a - 20838860347463288090533001944 )x^{14} + (176927378520336268434266605856a^{2} + 397826820978364159954420869984a + 415108542821642295107292432384 )x^{13} + (-518022570003790982122121944792a^{2} - 32206115977019668176173843472a - 64026176525743256665920591240 )x^{12} + (348432578305284255415737532096a^{2} - 428439577841145112966700657696a - 386954794365621385595875911360 )x^{11} + (-231767608390843672042625825728a^{2} + 203609901947889097759325700824a + 113636244755792394641304263224 )x^{10} + (-103272928118538533390490233760a^{2} + 309360667083335955717806324352a + 134481775252961456788674174336 )x^{9} + (80796553705249113739136624652a^{2} - 367364490626646385359986461372a - 607045213992640537061455743520 )x^{8} + (204407729314445444903389991808a^{2} + 399837175590827472497018938944a + 225992290184654076940346584096 )x^{7} + (-245236320521073850499690275552a^{2} - 497102072968463046360197673840a + 408328088428876753955817901408 )x^{6} + (169275397539307778309588228320a^{2} - 550568231861250391268499646336a + 330079052814001921340479436512 )x^{5} + (103122086027010642192981911112a^{2} - 102571519245531304597380695296a + 74936827168094847088223948880 )x^{4} + (184256910317281442561258432128a^{2} - 165561460132700603858222012992a - 153159688326079250937312766720 )x^{3} + (552780721784789722547555846096a^{2} - 117349160206195932379790180208a + 514194714269631721939191221488 )x^{2} + (325428636005012177012748520032a^{2} - 191645125961810138914767786688a - 400881256169592914731734449952 )x - 482717786375292035412141262712a^{2} + 227585838982311069257660834080a + 117085036940339210143809188692 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary