← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-81862791018194762456939671248a^{2} - 443742213237136283402094986976a - 341741141654334138731879609392 )x^{47} + (244473928516516073687348703812a^{2} - 452827790405704511450997192952a + 502031260047481228592535165936 )x^{46} + (77469173044380639934263594904a^{2} + 320032212342345252343469311176a + 413423904921929779959206210088 )x^{45} + (-112141272791860914913353444004a^{2} + 230280153804193281012870728648a - 448662484297069650743714760968 )x^{44} + (-434213245745510806073931571872a^{2} + 87462541405122447861068932656a - 26055378918691066264433858256 )x^{43} + (-374716008428398117198873402916a^{2} - 360507910999667739284453848920a - 18982539156147822035832950832 )x^{42} + (-375849341794079634613622216728a^{2} - 263622869260395150122698976784a + 252601152521001719350067221248 )x^{41} + (-558328173567931849322846051804a^{2} - 77399490980269325529466045364a + 483090856742159873765960542908 )x^{40} + (-8876885351205435075266362784a^{2} + 231520285570217976822888991408a + 30641585512912013792395873392 )x^{39} + (-139717886278846044186194013344a^{2} - 65437297752378812724995706696a + 487062536650349317011523989848 )x^{38} + (173212757245508575540180438400a^{2} - 411275190087525951560807534712a + 483322163768945775609268715088 )x^{37} + (262933908202301207480894008264a^{2} + 228478372286095077928619904220a - 210000823083691666788958958344 )x^{36} + (236955005566344357174030102400a^{2} + 245198745133962715966077822320a - 504557467230024593515050467552 )x^{35} + (-143555111094238948660739341464a^{2} + 137469106214302797778056173420a - 256976986066079644879974430444 )x^{34} + (-459770920396835464317981235744a^{2} + 44643952173983035870143841648a + 105300622206962909034021547584 )x^{33} + (-478978153788011515325198322546a^{2} + 63399809736647309122225680430a + 378097915285340797558948105012 )x^{32} + (107344140334903280026271238912a^{2} + 20711463899523576730920011472a - 631293164640719932616479073024 )x^{31} + (71219851527507694404571607160a^{2} - 52880425673841722820218910360a - 253541113031190125655645644312 )x^{30} + (-221474019414192117402590788760a^{2} - 490584440679369817292812173536a - 299182188838583049299637933968 )x^{29} + (99273732977100357634831313500a^{2} - 317593954289909577494901866856a + 589982272334665885532286311520 )x^{28} + (-366828388458965848618213566720a^{2} + 60983795742293347070598397312a + 35311842924309823500069392544 )x^{27} + (27106525741887909621882846200a^{2} + 262393398284420900672277958016a + 40022968390158275814411026264 )x^{26} + (574073297632183614792361448560a^{2} + 630280175058698254151140082048a - 469184235338834708862357041424 )x^{25} + (620775841741078698262931451332a^{2} + 192891571693001916712887119856a - 615391608435720844211887837404 )x^{24} + (-241145030240957293248732940640a^{2} - 534540147933745326825217183344a - 543527538155514935547723871872 )x^{23} + (-6549988933115406274706188504a^{2} - 12550807750532035309513254736a + 596036090037160892691921459648 )x^{22} + (184177581017185057561549103088a^{2} - 46043075448140384106360195856a - 329135104633763586457967865616 )x^{21} + (467707777186930777472262634232a^{2} + 605973314389430663871795998456a + 121385652281909029012113665888 )x^{20} + (-585842422198728164747867837056a^{2} - 560153979420629794582308677152a + 312227060478062429637362698784 )x^{19} + (-176518422110313200170822382096a^{2} + 46568104710100051879892048976a - 172047245785024495225514238280 )x^{18} + (632098893113337300363275334512a^{2} + 304818280424638877093598056560a + 24668681922911530297976250976 )x^{17} + (-344334581037885123525860042740a^{2} - 243310607065964923752177657600a - 448704942794794174112074923820 )x^{16} + (-230840272291550383507925450496a^{2} + 510930930725625067169633307872a + 350961594894153867074496785056 )x^{15} + (-80564929580518486282666698760a^{2} - 350384205011567693887933837352a - 325141216525195922461240581400 )x^{14} + (374037546000670052727392501184a^{2} + 336194645691947012724957049536a + 491248378401789670197711205440 )x^{13} + (-574635168403944091107958062296a^{2} + 127084343288746752388978065088a + 264006922381054990791945198408 )x^{12} + (7851582908570786172191387136a^{2} - 417654202244712003688950060192a - 291103790398468028286678843648 )x^{11} + (-445595916837872580561568472176a^{2} - 437623399315529000456964412968a - 269283155640975212624106746888 )x^{10} + (296219718227676357139135550688a^{2} - 213471756343970294085468579456a + 425247335670317718068108747712 )x^{9} + (-399931688724554072342339593668a^{2} - 386477288874181685433746934188a + 19296132848015042158567374944 )x^{8} + (-223860410440081228615289280256a^{2} + 201837631329310497919718174464a - 626714090704321021407801272800 )x^{7} + (-233388669977674798902887397696a^{2} + 280782049960306458508378615152a + 26636950651263821887531056224 )x^{6} + (-35181515991676950773570935808a^{2} - 262718597292773743830821461760a + 537289943567533172705580333344 )x^{5} + (244164949256274632964286402696a^{2} + 1845216690349448654112221952a + 401726051861081687955684986704 )x^{4} + (-525103885642864902709496550464a^{2} - 50491459081010884315741680960a + 538919022869251909505688914112 )x^{3} + (110040399579898804059004326128a^{2} - 508807582636757137098350611088a + 616816181517491379807243987344 )x^{2} + (-481902896518356006206077803488a^{2} - 82916576031260963990214420960a - 378754044210426964571461231200 )x + 335481450380215830287242110888a^{2} + 136338915883106831812655069040a - 74231352717765847534477673516 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary