← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.258738_854746_981096.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((121443163683691070807432562639a^{2} - 169316165293639915965073427886a - 223288478826296159266702621426)\mu_3 + (132686556217930900426188010160a^{2} - 241734324136006630807092150584a - 315883463975088245150742320141))b + ((311263546450979668759762482090a^{2} + 237169221289813588026183503520a - 171429352135493660022011581278)\mu_3 + (283884267369083655796107424436a^{2} - 69780808913089115701293288125a + 282153286372368756294475977578)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a + 2)b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + a)b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 1))c + ((2a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + 3)b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (-a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} - a)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + 2a^{2})b + 4a)\cdot c + ((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 3))c + (3a^{2}\mu_3 + 3)b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3)c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + (3a^{2} + 3a + 1)b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (-a^{2} + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b - 2a\cdot \mu_3 - 2a - 2)c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (524191769533429648813370418136a^{2} + 449833463749516080245258918056a + 388637636515031632857082981648 )x^{47} + (-593770435653163958279086847304a^{2} - 581894465825488629266872214192a + 220317183776929155925899368352 )x^{46} + (562506011115750726421361046000a^{2} - 455909677228046308362699868864a + 234378166835001010346170119704 )x^{45} + (547664177076361167234737215600a^{2} + 147328581667429446212333247544a - 539457425455883888139591609880 )x^{44} + (-234178998664436741953313899152a^{2} + 285228004225563818116588489120a - 192579506174046893599056331272 )x^{43} + (-523980198211860035815995924440a^{2} + 274444313290897807629257432376a - 261866264392102965464311432872 )x^{42} + (208165051295727615325081495904a^{2} + 129485509501185175817972092384a + 77555109959869839014323123080 )x^{41} + (598407977842553606768750941632a^{2} + 134621896036907378979983524044a - 155959495303445386502914752528 )x^{40} + (213833547054730473536611478176a^{2} + 151879066870975595857545906000a - 524486859685072282308581853008 )x^{39} + (-597712367001664373771696951240a^{2} + 181108204947534772047845993656a + 258664386846241787097130249004 )x^{38} + (-612800361402563895861065305976a^{2} - 278471068999377923926018226632a + 221651278969573184814457101456 )x^{37} + (174220811103750321343015888716a^{2} + 270806458351470225857758946696a + 593168861440740547409085757880 )x^{36} + (-81787475548858071596562024000a^{2} + 514832260056843514855660481040a - 115056349383870972225810564496 )x^{35} + (-164149680056801707091084019512a^{2} + 89658871273772759427925478868a + 576479335390363976998395674524 )x^{34} + (195746139079268916568442106288a^{2} + 248685759075549371945229617728a + 224228120516473870171955805712 )x^{33} + (-419536173031167491514988382596a^{2} - 268780205163665735419676455790a + 486930203633611409750301470134 )x^{32} + (44169962459487738176798214496a^{2} + 3170910060614666177808849056a + 156954562546227992780450851392 )x^{31} + (-224776821822132617591171944136a^{2} - 301944102563574732239669372624a - 370823607241029618367067055048 )x^{30} + (-27067366344395140941497325680a^{2} + 628756116262236195013928445832a + 397810728661805194144662478344 )x^{29} + (-90771449635416087081641192468a^{2} - 210170482315364644474519680808a + 454817520481980542853927245548 )x^{28} + (530146641814780402293600949456a^{2} + 318029461929359562588770596608a + 24601336957784736547440942880 )x^{27} + (152236702747410155891602936872a^{2} - 582847161536179413608358613704a + 133432278029147458431727623720 )x^{26} + (100924852238104467882580689576a^{2} + 543318022209935577625154384704a - 521164964038809921453001132472 )x^{25} + (624659030781390169571143459280a^{2} + 185274455496465012288238203628a - 331916062149828097384554548840 )x^{24} + (170688453786181595672518241920a^{2} - 359316683009185982671699266112a - 492453696122419638616453275168 )x^{23} + (-319359683084496723163040029840a^{2} + 109181970708391727365252452288a - 597319579058767572909724846048 )x^{22} + (-46776125949427849976778768016a^{2} - 619426656382068635390765841824a + 581141606175296849168391012016 )x^{21} + (-353354310355182589962957916080a^{2} + 249695257045021391839961309856a + 577342511843587096929872260368 )x^{20} + (-150511690265552215960282000208a^{2} - 12191659774272851193948812640a - 20365134945809435834779872960 )x^{19} + (581354898087448207154971809320a^{2} - 314476573246454569377164740232a - 628399286681325267301741658440 )x^{18} + (-401224182027054744058009487120a^{2} - 577148831327826323643258935856a + 239278825379380324992548583360 )x^{17} + (-543688406474211872279308165172a^{2} - 222828482908564947301644986532a + 222992925251971442670586309224 )x^{16} + (-195418753588565964135175358496a^{2} - 618117434653943430893640265120a + 609747990067132069159368368416 )x^{15} + (-337591584801589117649706779184a^{2} - 37825029677260466583082001312a - 401348277161187758841771691536 )x^{14} + (-409287023671915599203861245360a^{2} + 251986510261792013109431506688a - 413587074422535596415001661584 )x^{13} + (435153147993995632452103101896a^{2} + 485462207012666681310455516976a - 377074569767188526613828925488 )x^{12} + (-20934053798432164155807870176a^{2} - 544264737379267375690643746560a + 403449295140520292407739109728 )x^{11} + (-544368210703266530143217122744a^{2} - 491344906750614663546056790264a + 535953120832170740639465253432 )x^{10} + (-402953337100910013207142389472a^{2} - 545067548047498986224785122608a - 106333679900641272883864767968 )x^{9} + (593265093559101610511798195404a^{2} + 561370720421712307594768819076a + 372539606451455221149814278332 )x^{8} + (-390787336204384395616354145536a^{2} + 81096376411074938958941738240a - 160616030039609475147638417408 )x^{7} + (-5717000415441187994148971808a^{2} - 45072677042790851065522312272a + 52527696032451342525823390400 )x^{6} + (185917433666845874501353157824a^{2} - 553944858854976840742273818912a - 352278195240464032150988613344 )x^{5} + (-345132507477992186411324104176a^{2} + 75414059131572965388588384792a - 70869765335905717451305044768 )x^{4} + (525242552939317020200769261056a^{2} + 288196395406346857035767469120a + 188243761529011757615481626240 )x^{3} + (-220123123309719191835185504352a^{2} + 348864215296198544186914747072a + 489945751439470482819309582016 )x^{2} + (-45399099456760933293099755264a^{2} - 480197032630715955858176690768a - 245560972486788996146358002400 )x + 291867574443468613430554897796a^{2} - 402624416938785044914108782900a + 543059706543890985966858648664 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary