← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (490097650347896711142782747880a^{2} + 515799372201295105938407624944a + 253172758366617590983359704952 )x^{47} + (-341745145684646034722624484996a^{2} - 89295689859062624214819302148a - 130808626436299635056401051656 )x^{46} + (72677504736538412382222249248a^{2} - 269463385427200932658549897760a - 312790048251133134728578865400 )x^{45} + (294221478871358228389743620208a^{2} - 239064809647430558809251241004a - 177643232796022346902166018840 )x^{44} + (31127651493512566021062272016a^{2} - 428410698125248160027414726672a - 210942803385365740387999370960 )x^{43} + (-602362466493985970713357916832a^{2} + 340167182945000645320346287932a + 230772071282648066273944942968 )x^{42} + (169107196325678887523446929608a^{2} - 208750874571359979810078535872a + 597477074644230492290372358368 )x^{41} + (23502859467016641512642319008a^{2} + 251804220191827623525931770308a - 330268333839649896158799368324 )x^{40} + (-179044928022603005116808265664a^{2} + 285240565029429087537400667904a + 251666654167103506918216014960 )x^{39} + (-68173583942632640699470642808a^{2} - 413218706757451588717558796360a - 540196078823447438902559672616 )x^{38} + (284992977765673302291101588160a^{2} - 573151001592163908623229709056a + 227966409084809720921172566768 )x^{37} + (379514952220373007567363674712a^{2} + 289712440179732493723975178876a + 606834804674525546662005679040 )x^{36} + (-257731875225707411474176981616a^{2} + 392070018485929370535538081984a + 391510336733070496167169666528 )x^{35} + (-33444777908294841432822078408a^{2} + 268251232339264272847546835020a - 114855105710404044113907544624 )x^{34} + (556749260065248711349140676504a^{2} - 514424920573959710049086579216a + 185682289439963545753940985712 )x^{33} + (-257527600014188781748370672912a^{2} + 609995064921992983942568421874a + 510030964021528295872115541368 )x^{32} + (5500771484943213053969692048a^{2} - 585497858239975897968340295568a + 194533640114111492105648508848 )x^{31} + (-507121521229089285581450152280a^{2} - 293856903888821468647796690768a - 211827776331001203950320355720 )x^{30} + (-350536016401748687751359132000a^{2} - 40485330593941921046920457192a + 435544396984619430892693611472 )x^{29} + (79582556772383351051718940996a^{2} + 231106090174068089190465755900a + 448158938451775379720529182336 )x^{28} + (-365970320647367142716921348000a^{2} - 49470491262204304403639165312a - 71601977833266988418290483664 )x^{27} + (-88371971788652315432525049664a^{2} - 570186664010653302831204813696a + 608876990877647749114918004600 )x^{26} + (310846447782616447380698329984a^{2} + 601337134656877266456987983408a - 348722499884400406799191223328 )x^{25} + (-47317919742390590286161784336a^{2} - 131738829781714334479852802180a - 242235988984840083854907412364 )x^{24} + (-206110430490721720203860279728a^{2} - 599766727710266340552686750704a + 127421905661526724145398301920 )x^{23} + (-106560353076980125009885777064a^{2} + 197561932785240960461490977512a - 455697213638158887126384260832 )x^{22} + (230628229475957222520798113440a^{2} + 584069082156945252695568698784a + 241127179913797028681599765424 )x^{21} + (-457980968761203721922942888736a^{2} - 100733014098050988851555924760a - 468427304841038906759321770520 )x^{20} + (397195416906107677536105366816a^{2} - 378271925140751574838271300672a - 344852543897831745187441865280 )x^{19} + (130541414195551225193046887000a^{2} + 175178234324895923303192185712a + 180216000671400044297182811080 )x^{18} + (163728843880720387918404326816a^{2} + 536737672414101192811173974080a + 530768852017803773733443059168 )x^{17} + (263238219139348515504506436832a^{2} - 482611712694713200011526975652a + 328866637957216164783985853088 )x^{16} + (588426461077193056796211044448a^{2} - 197707891553027264190031687840a + 465681780625447070508638165184 )x^{15} + (258187513270630033782894373336a^{2} + 572647146272661907631790486632a - 384226536863950972194668984520 )x^{14} + (-297776543313094101280240254128a^{2} + 97486724156523481086641966464a - 209041893946006203407513467536 )x^{13} + (379952299628374299557320120224a^{2} - 162654481594422701936967653040a - 532865072352867485749803448096 )x^{12} + (5138970260441620388785068992a^{2} - 320186787914665033832759861696a - 231851694550193216805106803840 )x^{11} + (170402424066680341329159169744a^{2} - 389784525033044838405707062040a + 140336217502094210142885515984 )x^{10} + (-307129054268315853244794954992a^{2} + 362267085896197042331736624544a - 577908882456476768862235783904 )x^{9} + (327619560505475722776119872488a^{2} - 313133881686380581389976651316a + 109233477983049024461596582304 )x^{8} + (116016639140247091394993505600a^{2} - 50944623908452246617554924192a - 61693360403566060909381184512 )x^{7} + (-147241691313620307420634297680a^{2} - 228180980363214839858660360800a - 10629917327144673436108220896 )x^{6} + (430371413731903801358558814432a^{2} + 348952114007155867240562209584a + 163217605268179913788858177136 )x^{5} + (-388430455094955503010955934488a^{2} - 96809209262360008485481664680a + 456054823930718631602420559008 )x^{4} + (244127207446443893295498914048a^{2} - 406415243217171909383558205440a - 499834779536410522363939515808 )x^{3} + (222849244683618898574809375120a^{2} + 3037876576647836343301341440a + 120433929322635756098603355744 )x^{2} + (-74117908881404281099077101184a^{2} + 298609373447963819163519913056a + 561758567801974381747423682144 )x - 141906302526266290305001627600a^{2} + 573080830317477618512701714088a + 386148780936607017278940606788 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary