← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (426234254883283403720946055168a^{2} + 599621404431111408036819599368a + 165049337730284502440849211712 )x^{47} + (-144112712935294571135173130420a^{2} - 297380869928138727385000566388a - 492892085655035315416696457900 )x^{46} + (54460352343795171079575633728a^{2} + 174145566607377206401566447952a - 47317084413640010369962772760 )x^{45} + (-347000615323056627310919015840a^{2} - 351092545282959973107325182592a - 266515549128587283239145926808 )x^{44} + (-121495098015492325860573810544a^{2} + 521551559718745306569549741976a + 128059463724317006189389509736 )x^{43} + (-323635081369409484789857091420a^{2} - 532754844286066431378318260612a + 442252142898185279480437932732 )x^{42} + (609200125128753310671653427408a^{2} + 45845806295604627691380317648a + 490248647308986142432448329512 )x^{41} + (-370192100709649793138870360752a^{2} + 226721251566180546206832437156a + 1335604234060627893071892832 )x^{40} + (557870033839561843584288842160a^{2} + 578170718978655678407855064400a - 29464801851878333741612695408 )x^{39} + (-520302774538534808984836705420a^{2} - 214019793576734248627061733264a + 119975488144495153819230343092 )x^{38} + (-470988001995563460898075492984a^{2} + 566618882399522392975691240664a + 470524496260858807539071484968 )x^{37} + (-330555526299713206509543022684a^{2} + 364007975129501937979263879692a - 368067342280288610906970992360 )x^{36} + (-89832116745630456746080869552a^{2} + 406355494880567935727057802320a - 260268156642601173960824741408 )x^{35} + (25038554906010237219919027616a^{2} - 169263055677590308656104424028a - 614309263670160727245358654360 )x^{34} + (277165248257309008207597704304a^{2} - 23985089923350910781883927160a + 584375157692365259879185668968 )x^{33} + (-297236204131407520346892890554a^{2} + 573532147442992055562128702302a + 478976533318946747819334550492 )x^{32} + (414392982489018845109759673936a^{2} - 275671188077773855728208303856a - 344699765587988480402965252000 )x^{31} + (-594708614958734702817559934016a^{2} + 320253576519681719166857283912a + 345393182378132895090965027632 )x^{30} + (-422079643217876193844206847512a^{2} - 98684176999474421058533370552a + 322094618966479438741813275008 )x^{29} + (-177046431200719487960129707596a^{2} + 200350600602664272960043348136a - 58991505589520826227094989356 )x^{28} + (-440528655866919863860116246864a^{2} + 131665722987506154089647774336a + 608173376515540608240064030064 )x^{27} + (232384533452826588833219942448a^{2} + 617744947340250993719921516592a - 248614107021163953383054117992 )x^{26} + (-601722226119501661192783481576a^{2} + 54930488498129874668727442768a + 11708173713007203356263505064 )x^{25} + (542066878874123895347014810600a^{2} + 70829070934328238705128286564a + 483210688089606289803349229384 )x^{24} + (530557800864290526370227925856a^{2} + 597104004191661058841737589568a - 549402131638255876384010546432 )x^{23} + (119552088501431377171909635768a^{2} + 323371369139916537477701379632a + 145910670632555208752468071000 )x^{22} + (567278657555538599314938059008a^{2} + 160387433029193573897361607584a - 76616474502299100103012042912 )x^{21} + (-99172885804998278106183161848a^{2} + 493876734566754396880209763472a + 185754379857681005239584541296 )x^{20} + (-361307703964692745786429340400a^{2} + 170463897701950621523111611920a - 411529883838414659480770497312 )x^{19} + (17720734586302870192884292856a^{2} + 560439826615518297631164161384a + 192102747391907559974486847208 )x^{18} + (-410035403465046191988604296720a^{2} - 206177185432600715647203195152a + 615098847290563167548382108320 )x^{17} + (300492703930071110289292499360a^{2} - 347313696881840198755143239040a - 209338939601947193530089962804 )x^{16} + (-349895992399442710754200167360a^{2} - 440308375809948633609861827232a - 405468487357497520778895994208 )x^{15} + (159923112454669258224313975568a^{2} - 107331713028555484038203334304a + 251875223838377907663933136512 )x^{14} + (11380820894401070439292746448a^{2} - 326884812635871706511328220384a + 140882033413329649994630063728 )x^{13} + (-272372834857004296540275456144a^{2} - 64960889837681183440626794056a - 52328109451661052188492908112 )x^{12} + (616090616988447657475647612448a^{2} - 163819770208529829303706482176a + 551532443210225155264405167360 )x^{11} + (76998287420915216203691671944a^{2} - 102881947750895469139584456720a - 151170360067008612903425540576 )x^{10} + (203216766693658304501066022080a^{2} + 264465074388328334148646854256a + 316723122968602304675029271440 )x^{9} + (-379288942358950843970888800364a^{2} - 497189570973155018599984165036a + 26842847069936231818673320588 )x^{8} + (273848246189081828500072161824a^{2} + 453038383842107449992039615200a + 147243921139863479544846133408 )x^{7} + (-268281454050820375094136050752a^{2} - 199724172115586765311938917168a + 381929573208686785229694364464 )x^{6} + (351371154873338011770277764960a^{2} - 20125501711863233457860392384a + 43317672869932173666976394240 )x^{5} + (435731706487907357186923016528a^{2} + 67112725914688822046420396672a + 279127063840857436421491316136 )x^{4} + (143108913482600511075712833888a^{2} - 446700427786577650830630655072a + 362072262621777549710050312992 )x^{3} + (255014220133048478830884112624a^{2} + 316250088603094501388764952224a + 381904681165224385198739774544 )x^{2} + (-438188226073562799253971448288a^{2} - 199843567695517166255014356160a - 275940268711178813877865999760 )x + 395482511298249466491893519476a^{2} - 165302922586957935952173617248a - 198461313868529701522208178960 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary