← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (490097650347896711142782747880a^{2} + 515799372201295105938407624944a + 253172758366617590983359704952 )x^{47} + (-166214701108967671069237893524a^{2} + 200182524132721952091640630324a + 500965464244312320810248446480 )x^{46} + (490705172901972691159534802704a^{2} + 4979233054189708568021573424a + 27282469891994935196276916152 )x^{45} + (-230408596377601373883970593088a^{2} - 10066326376467337643094408260a - 44998272257347852556025710720 )x^{44} + (183963139932499819064101125568a^{2} - 231080449393864822030573311488a + 617664089276200558900783967072 )x^{43} + (-376102486229078036372550067720a^{2} - 495886281614138944750685301196a - 132720972403150325975491432952 )x^{42} + (371028464469830489192179347736a^{2} + 128082935753621728502174001928a - 175430938338500039703905095680 )x^{41} + (111962514992362872196984681556a^{2} - 13105251348939044753128436284a - 5752484206391410994419815788 )x^{40} + (357573988608531200061015075552a^{2} + 217872351958006925903413644672a + 67225393500254642114274150192 )x^{39} + (-570766551528417178664691852656a^{2} + 139349052001537850152130515888a + 24724227729424459349176613056 )x^{38} + (48641644107847921937003346160a^{2} + 165342957759711568168683457760a - 565951812849078241006108575584 )x^{37} + (-522736190975875730363035635168a^{2} - 519367133258320806549623377284a - 282509873006136028709498485792 )x^{36} + (-209719199771712923382396724864a^{2} - 19959845199748965171572688544a + 469449170929352634000905352832 )x^{35} + (486837221173905756138985285952a^{2} - 191719341466473875884666007940a - 569405790775414484265879604256 )x^{34} + (222634260943478632708408917976a^{2} + 549073365333452655148407602464a - 358618953284761427525264568224 )x^{33} + (-136847160460783791991212779664a^{2} + 469478949377749754138177493774a - 252345834046085659005022998368 )x^{32} + (-5289111685769004717174500592a^{2} - 471175339946393793654044664016a - 574638929245868189991906591920 )x^{31} + (-192138333550848220522011622712a^{2} + 73538146098798131103714138112a + 101858827235994650878476522232 )x^{30} + (256423614697569856171191707104a^{2} - 165525649564170049977257177928a + 285334457367413220975676525008 )x^{29} + (604147294826587812449232480916a^{2} + 314661667455431961674115724972a + 370948202398508174884983102888 )x^{28} + (-264137924327138147427684874720a^{2} + 294160340873453547155081859520a + 561510493302156974709325700688 )x^{27} + (-238259533715682551109194568040a^{2} - 232008165065383612635777726360a - 310535822705326445214889856256 )x^{26} + (-134816298306061252542580564432a^{2} + 514834774570686069445222439120a - 433124081081354632116214033104 )x^{25} + (596466486113925996390498212632a^{2} - 506020036572759134261602582676a + 62244856679380829091990752868 )x^{24} + (275160287106962617579953790064a^{2} - 540796550841424670485860385200a - 304036096452303590201904970112 )x^{23} + (-594541509086256351276945462520a^{2} + 351385069470785448959637908888a - 291737488160016489329924746992 )x^{22} + (-254103145894152414217834756416a^{2} + 25454854384043678919557877312a + 83235970017944095484883969168 )x^{21} + (-243518185954657912195816648440a^{2} + 424885518013494438248562264088a + 324997794249146773061916531808 )x^{20} + (210742091904589361730745306624a^{2} + 294492093524137259495854530720a - 2599803490659607685250892064 )x^{19} + (524624123260442891387263160008a^{2} - 54830369086675731063242461296a - 339264328349391037040382624008 )x^{18} + (445505932959803578624795230912a^{2} + 377393851201133088411700114288a + 561912737175854051496586939664 )x^{17} + (331167769569976358843840136664a^{2} + 620784910618479359625759199852a - 513229040938066386908361565328 )x^{16} + (-360287632784378854358871130400a^{2} - 549275040209423765247859830560a + 183853135190721057576098802752 )x^{15} + (196272919439980440304794953656a^{2} + 587082958356340717120606385576a - 264891561941839216507160439816 )x^{14} + (436024689213696491131672312848a^{2} + 416528468548255921660321093184a - 372182471617001134967533804464 )x^{13} + (-146674715082401501420765153888a^{2} + 354129112174047612944923713728a - 494504210523521969245612034608 )x^{12} + (-213735764335904226392641879840a^{2} - 461394236683293386229659986848a - 71739126088856714133319179072 )x^{11} + (-610786172108469929027766559552a^{2} - 86103109522985692807480755912a - 68819740047392362114846594864 )x^{10} + (-210929081414559148618733682640a^{2} + 110910742114230691524631394432a + 565055897488799273223765273088 )x^{9} + (-519385365556673696939953578888a^{2} - 598283984938275142734576541284a - 78153545332758675475965423136 )x^{8} + (-435952223778607914918251839360a^{2} + 167393773674887763626355866272a - 130838217100638449282363587968 )x^{7} + (-266058131625848639469451031952a^{2} + 584052883346681621567159741440a - 463362644583743708422556062784 )x^{6} + (542949941994774048433742626400a^{2} + 76809137073234284030830280400a + 387662924768238122736558289008 )x^{5} + (588944598072735097637439100504a^{2} - 163373387994556037075558673528a - 178658759179322057744371155440 )x^{4} + (-592699697257972644545013345024a^{2} - 490739996504610694127114510336a + 611871015102993306948450819552 )x^{3} + (-74553859516478287482800720624a^{2} - 577989803078857125797470080608a + 39601632033129309235619880224 )x^{2} + (612791456918714867383460217344a^{2} + 107145511142451923515470792032a + 488290345269746495499181189024 )x - 200021628520583406702217756304a^{2} - 74955734893322506257909932584a + 531598833541187627285750567364 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary