← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (426234254883283403720946055168a^{2} + 599621404431111408036819599368a + 165049337730284502440849211712 )x^{47} + (350969639236979743839167714628a^{2} + 155477130342107322244121272428a - 493040362343537289801163776148 )x^{46} + (387729905404975216195975315856a^{2} + 109593083074318523362267983024a - 460579475019634970243402950568 )x^{45} + (443784685787288305560118202856a^{2} + 593459463800812279286332565472a - 543445037207104504631168076304 )x^{44} + (-453656873934292438105703067696a^{2} + 359481697580032285594213567208a + 347249204225148691299745053704 )x^{43} + (-505557992140773273540327792692a^{2} - 176741006676607464955315339140a + 75921283083176589692922436260 )x^{42} + (-4454758357615388502351307280a^{2} - 142710664907083207607653657152a - 475207029399441160937593178976 )x^{41} + (69589841244798407424603376144a^{2} - 584433639491564469908797142108a + 208117440680216124865254784676 )x^{40} + (-621284792374915277366770514224a^{2} - 617899620136587111582655915184a - 565579356335834893155200020336 )x^{39} + (-108497262081708983109876371948a^{2} - 523610845010078269176971907792a - 69972295255869695018732295228 )x^{38} + (77902922565325031418926962232a^{2} + 11509027039728805542798615032a - 490285260307756156850589644024 )x^{37} + (-438861487315448719366112221140a^{2} + 185942656101667212850249035572a - 23840834302341050273962347928 )x^{36} + (10745761134900210466596530000a^{2} + 195710309936518069113694011056a - 327215716961340344186494911936 )x^{35} + (-88823966689657538932953871896a^{2} + 531586891116753438844645168396a - 2817837709602888376908568872 )x^{34} + (-394498121168782747181209225600a^{2} - 346365389321791549222343712680a - 401711711355506651761891354552 )x^{33} + (-280422321978159063940406065286a^{2} - 132289398047555939320278804022a - 520560758862667045255570545268 )x^{32} + (530710087841105361775401805840a^{2} - 329571842976712134335995820432a + 315350451436727718007697562528 )x^{31} + (-185234465397563472250089680976a^{2} + 614150501460639939965452351768a - 98295802912642539063359486736 )x^{30} + (-628292261679908604478273887352a^{2} + 389556149524831404711944271976a + 193225418437383746579945447520 )x^{29} + (-151512043029268870462097479484a^{2} - 400713385164403696953690457352a + 278713568442044323309675984692 )x^{28} + (610947835364552227709926376624a^{2} + 258774884767352677811167066592a + 250651135807593853670139203120 )x^{27} + (-206380011692943081003330994544a^{2} - 337009548855364438140187049456a + 304427454772186953007999018824 )x^{26} + (-450891917606232177194255728328a^{2} + 101638986124580659144619296416a - 127349899688371238793463543864 )x^{25} + (-524767855018205294328763228504a^{2} + 474005240394912452825568817220a - 209408758280742546800642178912 )x^{24} + (-239433603017472405486613704512a^{2} - 474998994567209153808768170240a - 16975487457071664266532261440 )x^{23} + (-472600812140219195259910016360a^{2} + 53711982641927201936531093376a + 236220612855671362884380375368 )x^{22} + (26239586948386325411504562400a^{2} + 365978773631246354633438800800a + 455039764876915370128593976608 )x^{21} + (626792453863553610442816921280a^{2} - 353821418949840951497778321424a - 528466477208266871306649732360 )x^{20} + (-443211216605028007837056359152a^{2} - 10335680856586958569841306896a + 220607307899851105771708232224 )x^{19} + (526599360370425774611971624616a^{2} - 615990508431499556088475030600a - 320500678425758253332187107352 )x^{18} + (-597402195656684194467885618096a^{2} + 488676562738521278178029578832a + 138774836362956970921963060192 )x^{17} + (157687939942116800747357390640a^{2} + 359276341218739387293484962472a - 24091960615883214633602321764 )x^{16} + (53025208309138941763771966912a^{2} + 66806911703618254134023456a - 105584781720956663032117901472 )x^{15} + (105886734664486828902267296848a^{2} + 178720681291714994539151550592a + 204289164879006273728275180352 )x^{14} + (497559421664148144065750772528a^{2} - 591902252077573937715055108896a - 435917946990616769689391306352 )x^{13} + (-445291567001799448977761756512a^{2} - 552270002483456269763694397784a - 624353244636544255281431288224 )x^{12} + (-626230702119550741741122022592a^{2} + 439234279719344372137322607200a + 481309611255753786356111956608 )x^{11} + (-92147506297960055899326815160a^{2} - 179240109239173317484412915840a - 200898416100558547913586906704 )x^{10} + (87607326910282177969280255680a^{2} - 303709443514796706228256303728a - 72465079214898240013937310128 )x^{9} + (-338893031529622224822245260540a^{2} - 625369973834723497911042124156a + 466507490798699857522970794524 )x^{8} + (-181727400848931793753492477600a^{2} + 527773225963208562473736773792a - 414490509818206246546193710368 )x^{7} + (-363677057118822338043989369600a^{2} + 365594666635065412473963496560a + 366571902919915799727542819728 )x^{6} + (78318740721559788345559471552a^{2} + 250436350709944042367342312992a - 170639372934000130330226853920 )x^{5} + (344392877934355406777120957392a^{2} + 457498143943690237699581478656a + 375012228682818396650681956280 )x^{4} + (-399656248053013286362328552032a^{2} + 43571686996128887695911614048a + 476643939061564369406383359776 )x^{3} + (-248596817324994862260668756288a^{2} + 359110630760119056036453234736a + 176343013091353229022593399824 )x^{2} + (-51239536409833323287788571136a^{2} + 215433134350397127174354016576a - 145180131832505907835475535024 )x - 120124851404176814071191585148a^{2} + 574728325591647273018255238304a - 397292520247305516877770816880 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary