← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (426234254883283403720946055168a^{2} + 599621404431111408036819599368a + 165049337730284502440849211712 )x^{47} + (413282973253058107824645303588a^{2} + 290475152632878950193808960524a - 562244638588281144259572866188 )x^{46} + (234293870736428022250660020464a^{2} - 491652827583786114752579430704a + 535645317982704642845015094280 )x^{45} + (257994235697777877814722224840a^{2} + 204448086878674246002911520928a - 90351826984632636242960426048 )x^{44} + (-571345757008410700150176721104a^{2} + 443977710352150643890900844792a + 255192534613423978679785901992 )x^{43} + (-53227509099518822357171279372a^{2} + 461046761244127559134021863060a - 229874350209253771682535637124 )x^{42} + (416057647559321242284213690264a^{2} + 72116323360345927037582149744a + 387353609857805461889597542352 )x^{41} + (-43503806662313680626405671372a^{2} + 294773814836945345965438928352a - 237071186178485643357611397056 )x^{40} + (478150167736256881592819378544a^{2} + 70090525492662318389431890928a + 204138169755251882991388816176 )x^{39} + (-105083031551718905339497238444a^{2} - 525825006537346443443307985840a - 220472256419762284621225440316 )x^{38} + (-74114915269932765246905982312a^{2} + 497163785407849968446229165096a - 59714692244500150320891480552 )x^{37} + (275161694748570213509668442636a^{2} + 592348992780710415058792855356a - 560280747652230514687030577800 )x^{36} + (-119197006538338054491961197680a^{2} - 251775876969754413037301630032a - 89999640210233418350833875872 )x^{35} + (-128729226611814569423534663512a^{2} + 486790619979330106814516141772a + 245787024881012047368943902112 )x^{34} + (47233161104154263729568703200a^{2} + 427461934351177797272298974504a - 264231856919781747918756605960 )x^{33} + (334467971393191307980072412762a^{2} - 531800968576749096129544019618a + 258394646637992110509378813276 )x^{32} + (-578594728806247573737447933584a^{2} + 464660840124581012020574259088a - 494758914801053357042952297504 )x^{31} + (-8233549101105968364210800352a^{2} + 300979248795846146458731272360a + 158155254250636504785543947792 )x^{30} + (-348476142398839766314779403224a^{2} - 631499632710502044064927412056a + 137461187945598203794421314656 )x^{29} + (-65307120355027841913596106716a^{2} + 626104227643486999132692058384a - 613856724047225663648806020300 )x^{28} + (-246497332484713382163966114800a^{2} + 90196908782893298334517038240a - 422771753587994374132387072464 )x^{27} + (-32756269755359519185214108928a^{2} - 169426817177600147523477170176a - 285133318167828541951814887560 )x^{26} + (193016958844109362538665480824a^{2} + 121651946796673345042469292304a - 291930467600570346800555097032 )x^{25} + (174016326885362154261729561960a^{2} + 627344662603210308669550057932a - 252864353681095834094036860168 )x^{24} + (508941765598357619604844090592a^{2} - 395975339116327839531167529024a - 345243014598928814204485864992 )x^{23} + (-407244571675611318280811811272a^{2} + 279007830507833544871485089216a + 234716288627440976179734600584 )x^{22} + (220666211429890588103237306496a^{2} + 456938802913788922403792430560a - 69883839040803736010109996000 )x^{21} + (311645929918989239819075607160a^{2} - 561817229292648749634349506808a + 226699907895392750722113393640 )x^{20} + (-221620737699122981465159571024a^{2} + 59354423964416291495893376976a + 444888608079337017165796599648 )x^{19} + (-503140794267994453269457821192a^{2} + 404776825985987539243434429816a - 430923401231523012505083193320 )x^{18} + (624971990011320589822553189648a^{2} - 209273438606756279896633448464a + 429443667761641830214130736480 )x^{17} + (42581050440631525155800906120a^{2} + 246765780661648683097034040296a - 191970968033695798029428786508 )x^{16} + (413435859243046662067041507456a^{2} - 320881560113757347923082162784a - 549987975643125799665138356064 )x^{15} + (532021196388828615028404912144a^{2} + 611601030288161475694808485920a + 217438381086536271181075109184 )x^{14} + (342829127805806180887847470704a^{2} - 108010559707271934698392548160a - 115150119262966517424289090544 )x^{13} + (481199608252568476457859715616a^{2} + 266564460286991357660593431848a + 280447284816815734170803706256 )x^{12} + (-67110673573062094782411047840a^{2} - 550197014541666889981004147552a + 83154819803944282538672998976 )x^{11} + (-60247631668180772834352716392a^{2} + 341759837979915999229757702224a + 74545078955830149576944078176 )x^{10} + (168236999146555581175329210240a^{2} + 194740249116749495203609420016a - 361380626562366465573968518064 )x^{9} + (-212567255315261813068626450124a^{2} - 296658839116574982918964773788a - 108537292182420177916839802388 )x^{8} + (-21073625092386856007046188704a^{2} - 354149646652263076907063544032a + 46050635228368046870016404000 )x^{7} + (503217157382619424667979976320a^{2} + 526390440998588735347799344464a - 379985010387498494204027771984 )x^{6} + (540327921877396931695915706144a^{2} - 459520214288367321241516049568a + 279571482432690254886113693856 )x^{5} + (-91071451701386278156991620976a^{2} + 34807625672928812690948815696a - 417111899983719933636333723080 )x^{4} + (295822111152256156338753137888a^{2} - 632123786820435668717158018976a - 354936375643278399482238892256 )x^{3} + (180693980016896142536476150960a^{2} + 228552426580545785088678570448a - 41614709159072440389144905536 )x^{2} + (503417819336081848325931776640a^{2} + 135679914647841812703923307648a + 102920794340537949575537645392 )x - 357468071628139078129677480700a^{2} - 490882260916493598379651787648a + 206355667150064007892902370160 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary