← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (490097650347896711142782747880a^{2} + 515799372201295105938407624944a + 253172758366617590983359704952 )x^{47} + (157044084126883170164423335652a^{2} - 457836123997485150409439000196a - 313686712242562272565932565088 )x^{46} + (240510849535612643447863340512a^{2} - 270208646986729163493620540496a - 78442333793303792371034643960 )x^{45} + (-234960412156325002831466800232a^{2} + 440510597541795822849930059740a + 210153040907714711798004838688 )x^{44} + (270605066688719358243407683472a^{2} + 427147349900266618653069554640a - 265441199788854754255479690256 )x^{43} + (-328587595637023533977837459768a^{2} + 316676618631468297300145982212a + 452076186036500845062800304584 )x^{42} + (-431062567968435377786547430088a^{2} - 363863649048354275988158592064a + 125942261160584583653021099784 )x^{41} + (16355652409601184651667203988a^{2} - 244760626693332118422578650396a + 442685463239354988347303380976 )x^{40} + (620889195401011259076042793408a^{2} - 382087361436391784709781690144a - 327846960494468493464510906000 )x^{39} + (-629833024262153090435192473768a^{2} - 425135471934735613027403113056a + 623007406640171844833161087968 )x^{38} + (580394680522012589028300222176a^{2} + 216932033002513982850072829024a - 310537001870852448198700725840 )x^{37} + (537687881483641049626171489200a^{2} + 339559371996683392044327804804a - 422424399676230675776843317800 )x^{36} + (398027245452575404114493304032a^{2} - 105093838417869859689831242208a + 275987873938504127169861415312 )x^{35} + (116901012654823269559722632240a^{2} + 125626007181151202415003125828a + 295148425507281597167114298768 )x^{34} + (576676463269597502388871779240a^{2} + 550231949144408407559083883440a - 351704137664447893655036809728 )x^{33} + (410468924524782344591099982636a^{2} - 46632505071048085312519838094a - 402910740671792993001857047220 )x^{32} + (-365456461438956667636165579344a^{2} - 133496360520878684253425987312a + 70501395240149078049680086416 )x^{31} + (-82508499640327475261812436008a^{2} - 70071877083869699716825202752a - 501548259180236111352061970456 )x^{30} + (-597356439735976681086107544640a^{2} - 210185100143318383971136468104a - 99534108770748639755497568656 )x^{29} + (-250190468154405056251388235644a^{2} - 108084858288435238001159025980a + 567814307008906806078895775336 )x^{28} + (-354400801194066643559864587712a^{2} + 369565214056596314793221108768a - 162682234863353815488602105840 )x^{27} + (391571754775296768154309069864a^{2} - 585796946666399450439410927688a - 169851732004028130073639303048 )x^{26} + (-299207343034625451338889992336a^{2} + 103871537204085467635149563936a - 493999982954957994226516346928 )x^{25} + (526921969728955448187108543952a^{2} + 472081511340338936032955138084a - 145075031501271632174764363060 )x^{24} + (412983552762797133528408884208a^{2} - 3594658722813241836101534736a + 60326835501909037462575016096 )x^{23} + (-189946852428050138648541186600a^{2} + 419260502943933752750811205384a - 307342150787608968948839356032 )x^{22} + (-66978654645710116989199357504a^{2} - 8692686130065455255887724000a + 7552482645547869410243528464 )x^{21} + (429605700497641925064098848960a^{2} + 549833023129436687536461650064a - 198758109293930535915214020272 )x^{20} + (4004074565110177903675219744a^{2} + 120548963643976702893678513952a + 397830248594965464802101563744 )x^{19} + (-349235580326664627388538176152a^{2} + 552680049779921155033081882560a + 302387847315276171630237307144 )x^{18} + (505613860452987217657537059600a^{2} - 568457904741666272576367199968a - 271777210585558467583720771200 )x^{17} + (461613005742861161022930003704a^{2} - 67286048106091166434502300772a - 49100971137065014280417159336 )x^{16} + (11613563627692783213808503520a^{2} + 553034748415120756965402885856a + 310324011351980701660565994688 )x^{15} + (-175728991182087745743733084008a^{2} + 582629616681740647428860493512a + 161376370567269387849846711224 )x^{14} + (-267748762577282369293846351120a^{2} - 133583354149943049074206253184a + 154911664245316802653391552208 )x^{13} + (-250081815549926626270345370848a^{2} + 331105066163366706598802216896a + 13139858410990459906286924576 )x^{12} + (620915103640725684867783830784a^{2} - 447903297915869866130739303840a + 55074153736457626887508871616 )x^{11} + (190812061123710843564115162000a^{2} + 157451562992641341054223348696a + 278527526517659040197098498016 )x^{10} + (-318209207799676266863407456976a^{2} - 468285064179026275817603044064a - 547221553254875665695372852064 )x^{9} + (525147402454582325926431671640a^{2} + 459267500747739748551911076716a + 545926956639943544540900017136 )x^{8} + (20269785618364198495062696832a^{2} - 67590270260448279508165944096a - 373564290990672809405345476352 )x^{7} + (-548665813542584120126435546640a^{2} + 188337118514218037734351751904a - 222215727878046269821086621184 )x^{6} + (72370386475933158392806699392a^{2} + 292223778536440275779491878768a + 461594091635472417206958920720 )x^{5} + (356762228628258232733748846264a^{2} + 452183395999195428919146699624a - 325074824667764221398989669808 )x^{4} + (631514972734304152603058073344a^{2} + 383782466553900007841327365312a - 404465045491929971965589227936 )x^{3} + (501216333244858952993931392816a^{2} - 269445469280164850062406568000a + 395046754067330999442938183104 )x^{2} + (62365573779740252895780040576a^{2} + 585380537569435069696186948320a + 297010728525330158750022306592 )x - 322014082212584376955985313696a^{2} - 569609934998084616923266250408a + 604475775201918553180417775396 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary