← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (426234254883283403720946055168a^{2} + 599621404431111408036819599368a + 165049337730284502440849211712 )x^{47} + (426370908641586707101657936684a^{2} - 338182393241182306342926225764a + 508250073603436006911344287116 )x^{46} + (321629210160596992602844065952a^{2} + 324986287008596300205906566288a - 220417782339112157692888069384 )x^{45} + (-531343854925985631138602635600a^{2} - 211510262494972863158012260928a + 38870855174912672869997884632 )x^{44} + (31003463947340420470869703536a^{2} - 5358029675441087676614867256a + 221623429897584609320111714280 )x^{43} + (-280591693234031747012695007124a^{2} + 598199051315890092812157587332a + 328966875407866779059452484932 )x^{42} + (-133451897740123476218516412168a^{2} + 280011510521364868233277141616a + 587459878987675376535042999192 )x^{41} + (-96568818223046653223509808916a^{2} + 206026370517170570929771013984a + 208697406881778109213714469340 )x^{40} + (-51385000398744726548921700976a^{2} - 495858188067170794604293373008a + 539030594209648050534385282608 )x^{39} + (402966405043911252123355701588a^{2} - 192079489054455448624945144048a + 350788553101377451070276067956 )x^{38} + (504522547818702092320665776616a^{2} + 32557274673947337196836473352a - 428686199048127102987936516136 )x^{37} + (-265173430352384047629225570732a^{2} - 447705023504097233616861027836a - 313995514256152549650395613096 )x^{36} + (-34615194076079753628076514736a^{2} - 64632708316769650048372816144a + 74190098391717915667832142816 )x^{35} + (10671399522011856294569125440a^{2} + 460335198750633954308675964692a + 311166239135190682165613301904 )x^{34} + (81635194853958562839110556560a^{2} + 267961954386612370522335128312a + 432354912855673018569132325592 )x^{33} + (-571560113610847596146762334314a^{2} - 366646092828363261891162714774a + 328437039299878257154223265980 )x^{32} + (533099227269946138596526104560a^{2} - 334538818222596187976257901264a + 419004253708856432323988244576 )x^{31} + (-458659956231024890207094725296a^{2} + 295321822765891825955061098776a + 585347838364329970555818450192 )x^{30} + (-260043065695699757635438297656a^{2} + 299985076948401380099328159816a - 520161757500765656995648745216 )x^{29} + (-439968971306692402429476248252a^{2} - 24942087727037523647980631712a + 327195425746914022164915021476 )x^{28} + (36457970784059327571682460560a^{2} + 432764709264906183496684370496a - 37512761594703377285029308880 )x^{27} + (108949127572308034593683023072a^{2} + 554844106877242521091362572800a + 600508779418230152704207924424 )x^{26} + (537244425736676225337966776952a^{2} + 382261846964522978011692555584a - 96863047562123352803419362088 )x^{25} + (-441105600022152168528443800776a^{2} - 165098761273092299702028574116a + 391857346257787286729979500048 )x^{24} + (328806629039218797687712628800a^{2} + 70248562462809881473395906432a + 448705829118211942832960914656 )x^{23} + (421471558115942297040884353816a^{2} + 463823607794316941943931813584a + 342245736683612012618390954552 )x^{22} + (20024060836157855657567026272a^{2} + 353666112182729459009116527648a - 302730732250292331281659568928 )x^{21} + (301136710678599444605439431552a^{2} + 391506539452800269867002824456a - 130558391618974067352816000224 )x^{20} + (602459161880736774729954393712a^{2} - 502874092699997771648592024720a - 7923528351991606362256049696 )x^{19} + (-510505580930600182200527841720a^{2} - 527325519825372387495207847256a - 327137864942842163723817337320 )x^{18} + (-220616207348810457437559601200a^{2} - 18532316686007239999358080624a + 82208655036863938744778404832 )x^{17} + (580567300294228900461131131672a^{2} + 624321860383262846247477562304a - 589942582296158776133271284396 )x^{16} + (316543817712945952985356913024a^{2} - 484376805293174318713112850464a - 476195331456702494782616407840 )x^{15} + (218988423737871249969228251792a^{2} - 424090689094218728915658655552a + 443428657723866414816128096640 )x^{14} + (514687980829122347067233047632a^{2} - 131798308181880798375924044096a + 137919350103863578316817684144 )x^{13} + (541955866413369610586998708656a^{2} - 519849193741662844905907768200a - 184427828825564985657740658752 )x^{12} + (-480899387611108128672227369536a^{2} + 112656585647033249533913419840a + 93031284467040114647548658880 )x^{11} + (-175867686391189894257208467976a^{2} - 561416645519153052138262876928a + 332240933423039040741251072144 )x^{10} + (145586372850745623853218422656a^{2} - 456702497695524094717403877424a + 166757040971188853613786385872 )x^{9} + (-458215461673511947741313665052a^{2} - 411938483262274974299891932268a - 377959995352725593236926511140 )x^{8} + (-231874886198106912282538281056a^{2} - 136971137802036712758406702368a + 574357142969563036529007806048 )x^{7} + (-32031132459688412600136101696a^{2} + 231663775066104806429602399152a + 425458775582890193378363541264 )x^{6} + (-619526249226782505600759605696a^{2} + 150494345123276527601912926080a + 287702586817347870398197645440 )x^{5} + (-190813900160774348177384371056a^{2} + 61659156111009288523329322288a + 240559696852858462094502574344 )x^{4} + (-20244295926780238695808938976a^{2} + 83732623480367581175918670752a - 392613786449758827986403267168 )x^{3} + (460768803549626255983740194176a^{2} + 100090272085467817835957026080a + 272398309105563846669365437536 )x^{2} + (-157236863273375959601117076768a^{2} + 541166192358998604794657730560a + 62066833891491868695549157104 )x - 389987296598634626356143426572a^{2} - 160230828925740001019636019200a + 174404026811838315715864766608 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary