← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (490097650347896711142782747880a^{2} + 515799372201295105938407624944a + 253172758366617590983359704952 )x^{47} + (-78288779707622697232674525068a^{2} - 626609390035331161147154824060a - 60776504515116075411782372232 )x^{46} + (-594388161899412813021120946928a^{2} - 326143691515484310213575229344a + 179945229396123991279283485272 )x^{45} + (-282352872144667866431000715016a^{2} - 496381411354862116559429206604a - 114330148559275596846049499672 )x^{44} + (-323403444814877235228100984672a^{2} + 575412849936662845581710395328a - 79958694276157241521557285600 )x^{43} + (359552692128434657180643344400a^{2} - 506399716358726423687723649428a - 57600534384136092844960773480 )x^{42} + (225516445852095103926122293144a^{2} - 352439371290142618093965326504a - 226392866713529638302877381400 )x^{41} + (614943706067643235932334275304a^{2} - 398505226319118589728064768292a - 331154281390518319213849064024 )x^{40} + (-417939007878353369394473882336a^{2} - 569984034866200431548116283552a + 408921018236761513720577124272 )x^{39} + (-617551720709773714124351491376a^{2} + 206680774694229781745674427176a - 604724258638771039782239181880 )x^{38} + (-369346328790998443433214660624a^{2} + 290798074370430630121171187488a + 395526705507616704878867002976 )x^{37} + (603405715718393708612682193992a^{2} + 523289578965407964919112773556a - 279174754718962848387066142088 )x^{36} + (409032032006041716907079801744a^{2} + 261635409536700555641672420512a - 63101701784182922460997801872 )x^{35} + (-413030948431060350025426138040a^{2} - 387042983381198254677923516540a + 177462073112756760858987043984 )x^{34} + (15084467173752620384889953864a^{2} + 284827311498549994588259726464a + 90320186222062961737327662704 )x^{33} + (107329019872811315465069825348a^{2} - 150250131745997385531580999346a - 103777266612040676224626713396 )x^{32} + (-31193567314005313334177275792a^{2} + 461077057620648717206328922256a + 519136879389412613844070335920 )x^{31} + (-310637900002719902855109192904a^{2} - 102785299696087212443096002800a + 251983506886093051646277120136 )x^{30} + (-285874536278904268850060013184a^{2} + 591532991225687399257078499480a + 142059736748794645097246530864 )x^{29} + (-520581786386919664383073463420a^{2} + 455948440456327278927649931780a - 314183565084748288356809129536 )x^{28} + (-218799359843137327170167035136a^{2} + 343070247904703873503385429920a - 571464357366870313427423068560 )x^{27} + (-68927911306863443635651231488a^{2} - 249629083154465767703698395312a + 628602500117146240007880189536 )x^{26} + (509089766857739806842414863680a^{2} - 403898825930667312228125766912a + 371697668518493612126172449760 )x^{25} + (-347505678200133185648146469960a^{2} + 165504673973763510449320562948a - 366020262104325024520172309268 )x^{24} + (490121012525713341452367021136a^{2} - 540772427824973209592473901968a + 78622031986161698565120554432 )x^{23} + (-613454841860981780152015446456a^{2} - 48071502572261911010142914568a + 265649209265642472660346288944 )x^{22} + (-6738440703179651892730940640a^{2} - 385546410741586583913457429952a - 628552053983984675640918489872 )x^{21} + (-267325113528786861446973655976a^{2} + 617806646196602861126833537216a - 381043481671006971622047949384 )x^{20} + (-395160193576555099278704086464a^{2} + 163785756862061858209477912768a + 390009697243526922525147152960 )x^{19} + (135500325400639871221429922744a^{2} + 197056327761964463503950335136a + 182934404021688891229622522264 )x^{18} + (376318901353905821236915285040a^{2} + 46044196546778288448019600464a - 207385192487034614033523546480 )x^{17} + (405642039148416611037248516064a^{2} - 309011742960980830904062473700a + 296814666966982785147446419336 )x^{16} + (-500634212889832310669291413664a^{2} + 313259103873447547523266100320a + 481813976792330257152017030080 )x^{15} + (-189945806427730533175444429192a^{2} - 600118580738704746687237880824a + 33633983691806405228766201144 )x^{14} + (-496631820349036765183671771152a^{2} - 388116966322566296216020950080a + 49689656791673983435554927664 )x^{13} + (342365981215859539112699408512a^{2} + 472888914637115732711937079984a - 173521591439901122373845429264 )x^{12} + (405296930132215404222608439904a^{2} - 284943198723718900934007754688a + 323016631049508460068703113344 )x^{11} + (-248222900843909205049554139264a^{2} + 25545605722377803522082654568a + 473142125374314668268037318336 )x^{10} + (462550644466342829060413999888a^{2} - 550054942499769678092551403968a - 294444377268936627389586194688 )x^{9} + (111012772559300281282981983784a^{2} - 372689936459055907610554699332a - 400295817353140565091209701712 )x^{8} + (53855383332284195382251954624a^{2} + 152467913540299976231657311264a - 532155604117705794479520997120 )x^{7} + (-219115138169998971909843683472a^{2} + 454267530847661011023351386560a + 147559309710748560524362150688 )x^{6} + (-125897128765406697364324525568a^{2} + 468616152644861511023649776784a - 109983974769123778930439885104 )x^{5} + (164801666651279821052619792008a^{2} - 605903120187581524795157050632a - 580180799194245413250106170080 )x^{4} + (-476372689424475201618666165888a^{2} - 594624743985161575911894491584a + 300075824614272801657687023328 )x^{3} + (229777767000707174134519253072a^{2} + 249152206668094382027532640928a - 169645867240926387486844869600 )x^{2} + (568015957392794173227243618880a^{2} + 212014180855328752315183590304a + 21626762819797667411402367136 )x + 185989593650544731438435320864a^{2} - 303600442750206106679394626232a - 284533034136235740613705475516 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary