← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (490097650347896711142782747880a^{2} + 515799372201295105938407624944a + 253172758366617590983359704952 )x^{47} + (88517940921340154526008718980a^{2} + 486731136889960453708124320132a - 531694422065018483900709956784 )x^{46} + (403986422227674084645172206848a^{2} + 380221458049027825412190591424a - 239781478575474568264479399016 )x^{45} + (-235947457293963811052585652816a^{2} - 34881583629012222299641977612a - 398671536424984404347530245912 )x^{44} + (398541163888372540911315630336a^{2} - 1778768210827472988652936096a - 400931405678783656637346457616 )x^{43} + (-220988380838582000889722644320a^{2} - 143057044388770689491963155108a + 243108743397255893753721432288 )x^{42} + (-370384153272893451328560769840a^{2} + 56043876393260132852463413768a + 272195715959363590468265124456 )x^{41} + (-163628268256459173897632488824a^{2} - 228376966287821002513752961164a - 29936122687356876555325837136 )x^{40} + (339725525106587621263124987776a^{2} + 416902684560162949365931399968a - 529406938778473777407612628624 )x^{39} + (502078911409429969167210555360a^{2} - 418759659760226777055645100440a + 202655710546909801587760901792 )x^{38} + (-593849157361771465835485383696a^{2} + 632815107847012714730319459520a - 431805494004988306619037439536 )x^{37} + (-487550035167625564648767970480a^{2} - 155582276393722986769137582900a - 310784436636844831902927691808 )x^{36} + (-219458569534699944680211727600a^{2} + 489751920651056997241631116288a + 23153205983606872632352419472 )x^{35} + (-525781916365483101755366429744a^{2} - 543885962163800859434089866700a - 569353599651605436813859511200 )x^{34} + (135968115506912353546442236312a^{2} - 206262674596689258177738783952a + 23620129624883070857398408720 )x^{33} + (-553726997993915536061565195036a^{2} - 366508862412076813307469856926a - 406598353143625680046491530360 )x^{32} + (54915436161190957147412754576a^{2} - 130669468438987161872885811248a - 108620573808898496545008512272 )x^{31} + (-505682773531961456452621526472a^{2} - 413615980313459459472333608832a - 400621421219559828049305753144 )x^{30} + (226205190362722393895735725696a^{2} + 181709026875094969977501362872a - 276598246753646506122341192112 )x^{29} + (530489934586881449936318855804a^{2} - 9963071759675445385550083780a - 515558643178483298287362205440 )x^{28} + (-166928009907035604885933152a^{2} + 377571548504799777988251881792a - 610433829996674728009337768944 )x^{27} + (170045236528076644255571444648a^{2} + 604680486250055229819513030816a + 257067431697199365710370542568 )x^{26} + (18798971341282188995474428064a^{2} + 102211818618948807925588856896a + 255434353378825013674437601584 )x^{25} + (313204141105462418412183305504a^{2} - 45910472677494473712727614276a - 232283986000438296206397298844 )x^{24} + (-192480352294869566637576496304a^{2} - 425408887723283026217333118320a - 205763563395166706172704155648 )x^{23} + (357479413024938762776671833096a^{2} + 54210966345085726327030631768a - 27374915390560761745297129584 )x^{22} + (-277866184545381460779384939168a^{2} - 70225077013662275716323746272a + 293618422960113752512569603536 )x^{21} + (-368399483712523648055234788040a^{2} - 417512477226143843613901646976a - 403069566750297905600387983032 )x^{20} + (-253093081960656260649189619328a^{2} + 334288086443225309417297007584a - 26144743192932396831674309344 )x^{19} + (274886944030245677452913239864a^{2} - 465182223765986452771441117280a + 487575177790106868864933334168 )x^{18} + (55056380290620965278951077536a^{2} + 565330937600064948768134806752a - 125864542131545292680327268784 )x^{17} + (-122829054068758669795614837696a^{2} - 538038863908055700383046837780a - 530828548067829430908542075832 )x^{16} + (-257107414340616605830128462688a^{2} - 36446758370143417648099157024a - 397119373037868562196318860160 )x^{15} + (292003344592880630980168101432a^{2} + 331112178444444760240390470472a - 97272151107953015501154025800 )x^{14} + (279705861530952902254577258128a^{2} + 40118136248936350100660999616a - 179832856402734321171773461744 )x^{13} + (-556308003832430470005862566432a^{2} + 110968972759335430274908672496a + 160284857285972455335264205584 )x^{12} + (-495662769891278256501316900512a^{2} + 608133473214181609379360098304a - 163183291628803795654432487232 )x^{11} + (449346127535103431654086871888a^{2} + 393771989769411622457957959768a - 117068561132865940253424407056 )x^{10} + (-16450429044806972017740694192a^{2} - 195289671818897306921360347072a - 34283805561216472045299616512 )x^{9} + (394851031585635487612745406456a^{2} - 616491475192176736695206581572a - 485336470139754853315899836752 )x^{8} + (-610064702401286434677831300224a^{2} + 124178644556979253004836090400a + 7700529656383092251012309184 )x^{7} + (-437172654182427244029098639216a^{2} - 565666248384344791503115520608a - 445655762007433646447318432352 )x^{6} + (11466341005134836126479935552a^{2} + 123437053364008828850614490224a + 399965138093180048684931383792 )x^{5} + (-226599423899621779710684853752a^{2} + 49821759126213413190918034088a - 51206284634654399346419506672 )x^{4} + (292262556859087544371306356032a^{2} + 357033418888009360217211287296a - 210594248066844258447751715488 )x^{3} + (143656872869495982224247180912a^{2} - 543355734768448449432750910176a + 308020147236786529045992576864 )x^{2} + (34571396795421432768695901568a^{2} + 330983813646336744420318029600a + 523421306242620515043903860576 )x + 93240753442874782650941454208a^{2} - 277699727531391707345160042664a - 285840008412076723973132747228 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary