← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (426234254883283403720946055168a^{2} + 599621404431111408036819599368a + 165049337730284502440849211712 )x^{47} + (-98145787224111455954090554692a^{2} + 206089335953133458803862798132a - 58621447731175295522153774492 )x^{46} + (136972838984574463697633545152a^{2} - 240944675229023647394238300704a - 117858018749966368983167688344 )x^{45} + (109477507885495976824015701064a^{2} - 228450347095668767502116548144a - 454408933355213256200208049720 )x^{44} + (333843778551442335844547959760a^{2} + 94213406311083884096859453720a + 51359898608138506384264846680 )x^{43} + (-238458671317416759493989739900a^{2} + 254105236708850506083168280108a + 382468152535573104475692641740 )x^{42} + (616206111990993013007134865224a^{2} - 125907254351406592843056558952a - 383011837855633169990378651464 )x^{41} + (-430249309042563989236108669996a^{2} + 608778606377771452500676900456a + 622437481440905194145859721956 )x^{40} + (313269567671394555912955847600a^{2} + 265200522513801617295940342960a + 476564228542428403978610938256 )x^{39} + (414303049545654703824090694388a^{2} + 244597186554411519739499145968a - 188916788350552750250658098924 )x^{38} + (-485860720629755074715407595624a^{2} - 368934501835070420209273986136a - 393920723496435315678772898664 )x^{37} + (-150765468686005518424582015612a^{2} + 409561219791781751837498547636a - 542891168848955718440952621864 )x^{36} + (294330270938824627313342392784a^{2} - 175488081641103675357313080112a - 57262755375959275719908430432 )x^{35} + (-152776866848798877871620555360a^{2} + 197849111546747708688488468164a - 601675823326156191358893908784 )x^{34} + (178263947565987612423546907376a^{2} - 87628115807602321541960732728a - 417885365247389182325835366264 )x^{33} + (-257164845220244483618349925214a^{2} - 129156093623539117813381922990a + 266929178839179216198351097800 )x^{32} + (598963807014050507124883799408a^{2} - 506154549782520944645814288656a - 75705738004338298369349667104 )x^{31} + (222988468378864295641598222480a^{2} + 346683323788309307305346697352a - 413161775166935265404391573168 )x^{30} + (502568389796667879927621566152a^{2} + 627445784903370850810093728040a - 373578474499166560435110313472 )x^{29} + (470464137305948080013506747804a^{2} - 287448828647004679820664486752a + 282174218646534129965140287884 )x^{28} + (-347237848617777749421645172112a^{2} - 51731626229489273934388722816a + 425314288354310532729561884336 )x^{27} + (422588481687624710360550454384a^{2} - 218342012619980918854317878224a - 133215303604084967156365676232 )x^{26} + (190940125980360391080702887848a^{2} + 123911799778823602947197968288a + 563701380526436705310115058328 )x^{25} + (468458005721498588925140348656a^{2} + 543186570831170299957072252084a + 794725986820793503663391800 )x^{24} + (409657893181986498712759612384a^{2} + 386331260323490691237992766560a + 242300834782952066061606641248 )x^{23} + (-296620665253791736083335047208a^{2} - 382757657010754744518678154832a - 125955670261414920187754898904 )x^{22} + (43166201904965270731993237824a^{2} - 468997410096452833086877322400a - 190170265695960508539970217920 )x^{21} + (615577075267121211519467662864a^{2} + 302212855937120771398076416232a - 493937883135392783120554865392 )x^{20} + (432566352504638579646301816944a^{2} + 140954697178281256338555817808a + 629256209316065380322631084736 )x^{19} + (128254237088483134095519209352a^{2} + 602615006967089390208824870392a + 87886593442004392365736861160 )x^{18} + (468529234634778462895641027440a^{2} - 441747787567569361101134137072a + 346522155663998712883710038816 )x^{17} + (259773123632303472452172940696a^{2} + 435816326045382958109250683520a - 585812144227125587077928852988 )x^{16} + (126314992169124680427346148480a^{2} - 315448933516723150538350590752a - 610472933862368819364227359776 )x^{15} + (348423094862275404414335785392a^{2} - 595234065433857424080458569792a - 592464550737720376524820939296 )x^{14} + (-538006164038773652344284411984a^{2} + 280975554109577620684165151584a + 459152057458666473650616711952 )x^{13} + (-10652704331528985981631049360a^{2} + 311225077161198060380385658392a + 113308304809695344075878488256 )x^{12} + (274858563186775204315304013824a^{2} - 71941020808624215262581438912a - 8679113444496632265273188864 )x^{11} + (-39000065634527013983179956248a^{2} + 313427182821616244426365025936a + 572981261717161126082123719120 )x^{10} + (285873080310872392017667559968a^{2} - 530906326677959650838630992a - 24562190970788723512049283056 )x^{9} + (-451162976877539419035018364700a^{2} - 562448988297740917527721841340a + 508782631266267910011711523900 )x^{8} + (-499226449331324952830643602144a^{2} + 90660450530395609836854010656a - 446531097127750897488381528032 )x^{7} + (-107574671792353118811460189664a^{2} - 183475412654237452186665535824a + 205101800853165919126591623152 )x^{6} + (486232756947853264189250946560a^{2} - 107417402396073436389009062528a + 375728296297802844309099872416 )x^{5} + (383141222104026558417410249664a^{2} + 632128710940563876522292843120a - 139789237256963111073780453544 )x^{4} + (-206899052964603245307162244512a^{2} + 407994424712179898231512309280a + 225048928413628476725710366048 )x^{3} + (157481732432705299599740050704a^{2} + 126433026731326601755789056560a - 236689181547834373303718435824 )x^{2} + (-541482243896963063505020827328a^{2} + 205414213404413599494842798368a - 260926512457187331071525321392 )x - 454871630955637891307287444684a^{2} - 240382360042755276333181844320a - 561150130029722175038951182704 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary