← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (490097650347896711142782747880a^{2} + 515799372201295105938407624944a + 253172758366617590983359704952 )x^{47} + (-393140965698995121580714512300a^{2} + 18201417985154425795207293292a + 306414856047934556641077483592 )x^{46} + (-37930907540419216318635089552a^{2} - 395521387975942477261135004752a - 517135867164330003273113990744 )x^{45} + (-263465112414305480858446428864a^{2} + 120976228412305726020860704876a - 580223656575290403713779191472 )x^{44} + (-331588033042774435732578739216a^{2} + 518390883429841405653903642768a - 219885037302779430216176509152 )x^{43} + (-261912216128523041171394095832a^{2} + 152325485260082680222203983380a - 435142069243631148550190978768 )x^{42} + (-245862147615481255938235142592a^{2} - 483348925650266713655084035680a + 33155878806869788219727244984 )x^{41} + (-215358718281014774615182055268a^{2} + 132657834701848538413745392988a - 178168565846265755427269463208 )x^{40} + (-583147894134169382677401317408a^{2} + 331114454107802371493449261856a + 513873110144776088646261721264 )x^{39} + (204045277157395618577401258040a^{2} + 625598826904144337787393952608a - 543823598122694095362216059096 )x^{38} + (96809356055065778878996306560a^{2} - 470054709276621664294981168096a - 97582369504732142083652911680 )x^{37} + (-490566041216935192115355049064a^{2} + 30109395792779679716929963980a + 583993086860530923514364375888 )x^{36} + (171715017560841754571665323392a^{2} - 445178472183541862709576717760a - 159441924098470593673131794160 )x^{35} + (-107090860565021362566734405416a^{2} - 27012825723783495277438686348a - 504067675684251570991442125472 )x^{34} + (339870565357701648117809893816a^{2} + 610025873975570412729315903744a + 113412789242316121032719467680 )x^{33} + (-222194827355936176543622052716a^{2} - 479962285039591638061089275210a - 102838530584910853774914466560 )x^{32} + (524751260058883633872207521552a^{2} + 164049265708062894332677131984a - 578438746252107862883456651568 )x^{31} + (251388097776674529149133113656a^{2} + 448854442138416274721331252464a + 306474601599220068385924143432 )x^{30} + (-213537850013606230402888518912a^{2} - 249197954966798474533012687656a - 114111342314479139579706666864 )x^{29} + (-179197187415898264972399015972a^{2} - 138797739671271073336056024132a - 324778048499457782149554496392 )x^{28} + (-52289064360153757336270425696a^{2} - 557284927755517551229983914112a + 44893319826775597736439418864 )x^{27} + (242012642545636906243768791872a^{2} - 100405423391605656146587390616a - 594688258941891497373721615104 )x^{26} + (54184866291830398315347806192a^{2} - 388449429984471154462475611808a + 340972727913053116250510534688 )x^{25} + (-70829166286267372039118250344a^{2} + 553862775354325908032722672940a + 398417733912418857183928909188 )x^{24} + (-273755132081462751910050161104a^{2} + 552200289634941172493505507664a + 526697590595550921738473854688 )x^{23} + (527015916978639773397325075704a^{2} - 146273751231761054397474015192a - 538628380681441844025191295040 )x^{22} + (144592460497627317382028831808a^{2} + 470373201804320220314598454976a + 136930022964179451750026408432 )x^{21} + (-372108715401027928259088032864a^{2} - 160827507943541948012660179408a + 18006744927120291712444578816 )x^{20} + (-213052984028223997869546356448a^{2} - 18154078573588125067269564480a + 192609593746852532381484701440 )x^{19} + (-534425873107855853822429517880a^{2} - 143175830021753942641838263744a - 79625666268346670726518721720 )x^{18} + (320317780664956574365096181664a^{2} + 196800737100603803202872185616a - 517885380753740805661988196096 )x^{17} + (-608430923756740379627227338344a^{2} + 440381856992194216353855580124a + 243656002425716638207925662072 )x^{16} + (-228427169527611083818759258720a^{2} + 575989551643533311236127385312a + 152877531546831357429060326016 )x^{15} + (624974991412598890294592745240a^{2} - 253374495217114072846862955384a + 449424547166863143735762309496 )x^{14} + (-522048536983751699756088431792a^{2} + 531129142231868482004238893376a - 283428519058883121722919607760 )x^{13} + (363210669782914009635621644640a^{2} + 524638124663142976354732697920a + 6721341561644664380750050176 )x^{12} + (-444559566672363088665741889536a^{2} + 166976813558886992254522353056a - 374971573858736247780857211648 )x^{11} + (-275326038527822027019747149376a^{2} - 250820161786047023657355208856a + 318093839960315872121473382032 )x^{10} + (-457996446250203366247313207568a^{2} + 218523741108185385096344479392a + 110620060871935123786788152800 )x^{9} + (-306850435021273642136321537816a^{2} + 513819447989831216816032057932a - 375697743746870860526073092496 )x^{8} + (-290457209487869064449816400192a^{2} - 633730527573061975965465066528a - 63096859218473332056860541504 )x^{7} + (373919764313600458400290805840a^{2} + 114370662452057760901682878528a + 170063950286524541654555999296 )x^{6} + (458264510003940742007029108224a^{2} - 136687869480426064305344292400a - 215137637369111112114524752464 )x^{5} + (54173923230057178959264599896a^{2} - 201437590253890528154210488072a + 336800104733671611127698480096 )x^{4} + (408983610600290127789329422912a^{2} + 520852666931947481959725987200a - 114419117194976226790462666784 )x^{3} + (87060757054173368971689834224a^{2} + 562836912413427135205407137984a - 431790173415010650065110373824 )x^{2} + (402652187001943133048524938944a^{2} + 376098570860386534759199095904a + 207341559096673100396114038880 )x + 463731726575641030979639716352a^{2} + 271864476436701875736673537256a - 153442172805178953361634510812 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary