← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.250988_886290_938622.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((238321224521189098833956478214a^{2} - 2244649138542904792148044068a - 256701760207388186971004132414)\mu_3 + (91753925839740769648287585959a^{2} + 209800437153513424855799129837a - 209407736362778730507221739331))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 1)))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} - 3)\mu_3 + (4a + 2)))c + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + ((2a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((-a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 1)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (-a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + (4a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (426234254883283403720946055168a^{2} + 599621404431111408036819599368a + 165049337730284502440849211712 )x^{47} + (173719506170077848886464791012a^{2} - 277102418524533573628785587196a + 464484534269827265840160376156 )x^{46} + (300994938848588307991287236656a^{2} - 59923344388241127881210848608a - 477791455765449137437195929576 )x^{45} + (-69140570670554041162522464976a^{2} + 503985375636932012273004026208a + 518719807789975891680983586976 )x^{44} + (76601570547475297995072382320a^{2} + 363241038236058726616708704008a + 23013613295025060632139203512 )x^{43} + (-529016414041581679030259793460a^{2} - 541675711724902053099308998740a - 206033102414253358678744213676 )x^{42} + (474451891805059902616570331992a^{2} + 554610295129895760494013104904a + 313813986391941342986075162544 )x^{41} + (-231533622326906412909959293508a^{2} + 538922603247714459360309519560a - 247213323342405600302057381392 )x^{40} + (489109525813104092528945527632a^{2} - 38313718896039638288044035472a + 372154630997877772854796831824 )x^{39} + (513101628531048677521654936564a^{2} - 4763376774650283326830299568a + 268714596974890424662807948676 )x^{38} + (66448572570384753392054477960a^{2} - 420218787059081666604411863576a + 42245616299298283588329812856 )x^{37} + (-22728959905215478863794713444a^{2} + 583252262422155079273374057404a - 461403390821494077632897027016 )x^{36} + (-178034279094424473164731359824a^{2} + 43131495824173823271743406768a - 463113004117418741954863366272 )x^{35} + (458679870908964348112865201576a^{2} - 227796118117141957627792427828a - 616687278812911867852531147696 )x^{34} + (378226464071519413268500734592a^{2} - 245610155955360658613739718856a + 92751883959146483497697244968 )x^{33} + (612836436456718970972323335438a^{2} - 161404148186803314602544365338a - 130542072570061166798408163576 )x^{32} + (-372553024043301417829568542224a^{2} - 153541848009651730687254177712a + 248635051877811385578359508704 )x^{31} + (274613588368304742116478217600a^{2} + 73221978020577941957711261208a + 97886876760046540947350849392 )x^{30} + (-446458452378996885757214610584a^{2} - 598719981667287825102806971832a + 582602406119823015187401714080 )x^{29} + (623191101951884309938956037740a^{2} + 323749733551450086576797975568a + 368201165077193184326982562972 )x^{28} + (337850227255395757802762842352a^{2} - 141337426892047201049673652384a - 49167126411985125321251554256 )x^{27} + (-511685799121521652245888741872a^{2} + 338926293664713776114684205872a + 300988548624347994694752307304 )x^{26} + (388545395286461275016683737480a^{2} + 462282392586189788872862667216a - 415242382647980339993626498248 )x^{25} + (414267869077179921973957083904a^{2} + 143505856045886122843932319188a - 572566804155950171944059292032 )x^{24} + (-396366726823412645218767609088a^{2} - 300359994575487913954803481824a - 610439420692993245055958827872 )x^{23} + (-205180623917643531745827339464a^{2} - 586255497018323359207690872512a - 271083908137966662765181022984 )x^{22} + (-300498192003622304630063875424a^{2} - 342271639177486361730650578144a - 264127830112198816094674273408 )x^{21} + (558596238128802911106961692712a^{2} - 216283079675638893194076807736a + 514620581918077667540616371480 )x^{20} + (-181921592382861709676241541264a^{2} - 121312335179712988934103702352a + 331662588946586588054627761920 )x^{19} + (-582307813689870446117818572488a^{2} + 452083310701484458414784713832a - 479095322438100374740751899640 )x^{18} + (-422693098318645518801425465840a^{2} + 3779619735173636211988858896a + 423548748978275131436592780096 )x^{17} + (26723014123810236725822061928a^{2} + 62318283595060195998151496a + 459394839254916105283185399316 )x^{16} + (-456876634051955019287432838400a^{2} - 171814765847919521745776579552a - 614044537246640672149240000480 )x^{15} + (439234043195942877897880052720a^{2} - 603569947961178075605835039456a + 61969984581341540945471307616 )x^{14} + (530816833009734353783854238544a^{2} + 200836160368947625346986973216a + 613774398311462801747020402736 )x^{13} + (159675072497649289134467973984a^{2} - 156190924605342889548751775448a - 115696160075158754756845159696 )x^{12} + (-195081268646529641978728245728a^{2} - 208850628366491817779473956064a + 151974711396315192872995946624 )x^{11} + (-77488689660571200513887642712a^{2} - 574738729476838842483042892384a - 117100936645933258192801303584 )x^{10} + (519462873303303404520792762784a^{2} - 271378854294387594526147497072a + 144083666805127648984038793616 )x^{9} + (601759196756355362318593301428a^{2} - 261822243906033539861701353612a + 472370283530509645497147593004 )x^{8} + (-121632995877825543854352125600a^{2} + 154629518305917510475868444128a + 528959285426215316073546886880 )x^{7} + (268013667417167517054305572576a^{2} + 198158463004441075969275871312a - 411862455029030794910642269360 )x^{6} + (36452970819952749924012070688a^{2} - 315246089787730946310420464800a - 450642868615569424660234717824 )x^{5} + (25043358320110922156799077984a^{2} - 20858107542303356925780557232a + 205386986623309840818787699176 )x^{4} + (83894314790067990974112493472a^{2} - 379912951991837906239240010016a + 526833086458553243904928485984 )x^{3} + (18797131460242378605613671360a^{2} - 24026220805207665872147907392a - 243601432078059120819904186064 )x^{2} + (-347216940923263660532389222944a^{2} - 111700868338954632951048448608a - 5697292262132976115975991376 )x - 94920424105463752160009761788a^{2} + 179176787863096609585107409472a + 392062768931088911960043566800 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary